Kurzer roter Faden zu Lineare Algebra I& II

1 GRUNDBEGRIFFE 18
Wenn man zusätzlich U ⊆ V voraussetzt, ist |U| = |V | äquivalent zu U = V.
c) Wenn U eine endliche Menge ist und u ∈ U, so gilt |U \{u}| = |U|−1. Es ist |{u}| = 1.
Satz 17 (und Definition) Sei ψ : U → N injektiv. Dann ist U endlich, oder es gibt eine
Bijektion U → N. Im letzen Fall nenne U abzählbar unendlich.
Beweis. Mit ≤ bezeichnen wir die Anordnung der natürlichen Zahlen (zum Beispiel 3 ≤ 5).
Wir definieren
ϕ : U → N, u ↦→ |{v ∈ U | vψ ≤ uψ}|
Dann ist ϕ wohldefiniert, d.h. {v ∈ U | vψ ≤ uψ} ist endlich; denn wegen der Injektivität
von ψ enthält diese Menge höchstens uψ Elemente.
(i) ϕ ist injektiv.
Beweis von (i). Seien u, u ′ ∈ U und u = u ′ . Dann gilt uψ = u ′ ψ, also etwa uψ < u ′ ψ (echt
kleiner). Deshalb gilt {v ∈ U | vψ ≤ uψ} ⊆ {v ∈ U | vψ ≤ u ′ ψ}, und die Inklusion ist echt
(d.h. es gilt nicht =), weil u ′ in der rechten aber nicht in der linken Menge enthalten ist.
Es folgt
uϕ = |{v ∈ U | vψ ≤ uψ}| < |{v ∈ U | vψ ≤ u ′ ψ}| = u ′ ϕ .
(ii) ϕ ist surjektiv oder U ist endlich.
Beweis. Angenommen, U ist nicht endlich. Zu zeigen ist (+) ϕ(U) = N.
Zunächst behaupten wir:
(*) 1 ∈ ϕ(U).
Beweis (*). Wähle u ∈ U so, dass uψ die kleinste aller natürlichen Zahlen in ψ(U) ist.
Dann gilt uϕ = 1.
Nun behaupten wir:
(**) Für alle n ∈ N gilt: n ∈ ϕ(U) ⇒ n + 1 ∈ ϕ(U).
Beweis (**). Sei n ∈ ϕ(U). Also n = uϕ für ein passendes u ∈ U. Da U nicht endlich und
ψ injektiv ist, existiert ein u ′ ∈ U mit uψ < u ′ ψ. Man kann u ′ so wählen, dass gilt: Für alle
a ∈ N mit uψ < a < u ′ ψ ist a /∈ ψ(U). Bei dieser Wahl gilt offenbar u ′ ϕ = uϕ + 1 = n + 1.
Damit ist (**) gezeigt.
Aus (*) und (**) folgt die Aussage (+).
1.6.6 Beispiel
Z und N sind gleichmächtig. Denn die Abbildung
2z + 2 für z ≥ 0
ϕ : Z → N, z ↦→
− (2z + 1) für z < 0
ist bijektiv