Kurzer roter Faden zu Lineare Algebra I& II

1 GRUNDBEGRIFFE 2
und auch einiger Sätze über die reellen Zahlen als bekannt voraus. In der Praxis vergißt
man oft recht schnell die axiomatische Begründung eines mathematischen Gegenstands
und benutzt hauptsächlich Eigenschaften, die nicht so grundlegend wie die Axiome sind,
sondern durch oft sehr raffinierte Überlegungen aus den Axiomen bewiesen werden. Wir
vertrauen also darauf, dass kompetente Leute diese Eigenschaften wirklich lückenlos aus
den Definitionen hergeleitet haben.
Jetzt folgt eine naive Gebrauchsanweisung für den Umgang mit Aussagen und Mengen, die
jeder Mathematiker benutzt. Man soll das Folgende also verstehen und dann vergessen,
aber immer richtig benutzen. Eine fundierte Grundlegung der Mengenlehre ist in einer
Anfängervorlesung nicht angebracht. Wir benutzen nur zweckmäßige übliche Schreibweisen
und Begriffe.
1.2 Aussagen
Wir brauchen keinen exakten Aufbau der Aussagenlogik. Eine Aussage ist für uns ein
undefinierter Grundbegriff.
Weiter setzen wir voraus: Eine Aussage hat genau einen der ’Wahrheitswerte’ wahr,
falsch (tertium non datur, eine dritte Möglichkeit gibt es nicht). Diese Annahme verbietet
insbesondere Aussagen, welche wahr und falsch sind (widersprüchliche Aussagen).
Beispiele
(1) Jede Zahl a ∈ N (Menge der natürlichen Zahlen 1, 2, 3... ) mit a ≤ 5 ist eine Primzahl.
(2) Eine Bewegung der euklidischen Ebene, die zwei verschiedene Punkte fest läßt, ist
eine Geradenspiegelung oder die Identität.
(3) Jede gerade natürliche Zahl a mit a ≥ 6 ist Summe von zwei ungeraden Primzahlen.
Aussage (1) ist falsch, (2) ist wahr; ob Aussage (3) wahr oder falsch ist, ist nicht bekannt
(Goldbachsche Vermutung). Zum Beispiel gilt 6 = 3 + 3; 8 = 5 + 3; 10 = 5 + 5; 12 = 7 + 5.
Keine Aussagen sind: ( 27+9 ); ( Ist es sieben Uhr? ); ( a ist nicht rational ); ( Der
Barbier von Sevilla frisiert genau die Einwohner Sevillas, die sich nicht selbst frisieren ).
Schreiben Sie solche Texte nie in Bearbeitungen der Übungsaufgaben!
Bemerkung: In mathematischen Texten ist mit ’oder’ immer nicht ausschließendes ’oder’
gemeint; ansonsten muß man ’entweder oder’ sagen.