Kurzer roter Faden zu Lineare Algebra I& II

1 GRUNDBEGRIFFE 24
Dann ist die Menge der Äquivalenzklassen, also die Menge C := {[u]∼ | u ∈ U}, eine
Partition von U.
b) Gegeben sei eine Partition C von U. Wir definieren die Relation ∼ auf U durch:
u ∼ v ⇔ es gibt C ∈ C mit u, v ∈ C. Dann ist ∼ eine Äquivalenzrelation.
Man kann die Aussagen a) und b) präziser so zusammenfassen:
Sei U eine Menge. Sei ϕ die Abbildung von der Menge aller Äquivalenzrelationen auf U
auf die Menge aller Partitionen auf U, welche definiert ist durch:
∼ ↦→ {[u]∼ | u ∈ U} .
Dann ist ϕ bijektiv.
Statt mit Äquivalenzrelationen kann man also genausogut mit Partitionen argumentieren.
Die Beweise ergeben sich geradeaus aus den Definitionen.
1.7.2 Ordnungsrelationen, das Lemma von Zorn
Auf der Menge U sei eine Ordnungsrelation ≤ gegeben. Man sagt, U, ≤ ist eine geordnete
Menge.
Definition 27 a) a ∈ U heißt ein minimales Element, wenn für alle u ∈ U gilt: u ≤
a ⇒ u = a.
b) a ∈ U heißt ein kleinstes Element, wenn für alle u ∈ U gilt a ≤ u.
Analog defininiert man ’maximales Element’ und ’größtes Element’.
c) Eine Kette C (in U) ist eine Teilmenge von U, die (mit der auf U eingeschränkten
Ordnungsrelation) vollständig geordnet ist (d.h. für alle a, b ∈ C gilt: a ≤ b oder b ≤ a).
d) Sei T ⊆ U und s ∈ U. Wenn t ≤ s für jedes t ∈ T zutrifft, nennt man s eine obere
Schranke von T . Analog ’untere Schranke’.
Bemerkung Jedes kleinste Element ist minimal. Es gibt höchstens ein kleinstes Element.
Satz 28 Sei U, ≤ eine endliche geordnete Menge. Dann enthält U mindestens ein maxi-
males und ein minimales Eleemnt.
Beweis. Da U endlich ist, ist auch die Potenzmenge von U endlich; insbesondere gibt es in
U nur endlich viele Ketten. Unter diesen Ketten wähle eine, die möglichst viele Elemente
enthält, C = {c1, ..., cn} (ci = cj für i = j). Je zwei Elemente von C sind vergleichbar;
deshalb können wir die Elemente von C so numerieren, dass c1 ≤ c2 ≤ ... ≤ cn gilt.
Behauptung: c1 ist ein minimales Element. Falls dies nämlich nicht zuträfe, so gäbe es