Kurzer roter Faden zu Lineare Algebra I& II

4 VEKTORRÄUME 50
Definiere als Skalarmultiplikation R × V → V, (λ, ϕ) → λϕ : [0, 1] → R, x ↦→
(xϕ)λ.
3. Sei a = (a1, a2, a3) ∈ R 3 und a ⊥ := {v = (v1, v2, v3) ∈ R 3 | a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0}.
Es ist a ⊥ ein Untervektorraum von R 3 .
4. Die Lösungsmenge eines linearen homogenen Gleichungssystems über einem Körper
K mit n Unbekannten ist ein Untervektorraum des K n . Ein Spezialfall ist das vorige
Beispiel a ⊥ (Lösungsmenge eines linearen homogenen Gleichungssystems mit nur
einer Gleichung).
5. U := {ϕ | ϕ : [0, 1] → R und ϕ stetig} mit + und · wie oben ist auch ein Vektorraum;
ein ’Untervektorraum’ von V des vorigen Beispiels.
6. R ist ein Vektorraum über dem Körper Q (R mit + als Vektoraddition; · restringiert
auf Q × R).
7. Menge aller Polynomfunktionen R→R (mit + und · wie in 2.) (statt R kann man
einen beliebigen Körper nehmen).
8. Sei R ein Ring und K ein Teilring von R, der ein Schiefkörper ist. Die 1 von K
sei auch neutral bezüglich der Multiplikation in R. Dann ist R ein K-Vektorraum
(wobei die Skalarmultiplikation die Restriktion der Verknüpfung · von R auf die
Menge K × R sei).
Spezialfall: R = K[x] als K-Vektorraum.
9. (Abbildungsräume) Sei X eine Menge und W ein K-Vektorraum. Die Menge
V := W X aller Abbildungen von X in W mit der im zweiten Beispiel genannten
Vektoraddition und Skalarmultiplikation ist ein K-Vektorraum. Das zweite Beispiel
ist ein Spezialfall dieser Situation.
Definition 60 (Untervektorraum) Sei V ein K-Vektorraum. Nenne U einen Unter-
vektorraum von V , wenn gilt: U, + ist eine Untergruppe von V, +, und für alle λ ∈ K und
u ∈ U gilt λu ∈ U.
Ein Untervektorraum ist selber wieder ein Vektorraum. Stets sind {0} und V Untervek-
torräume von V .
4.0.2 Untervektorraum-Kriterium
Sei V K−Vektorraum und U ⊆ V . Dann gilt: U ist Untervektorraum von V genau dann,
wenn gilt: (1) U = ∅, und (2) Wenn a, b ∈ U ist folgt a + b ∈ U, und (3) Für alle λ ∈ K