Kurzer roter Faden zu Lineare Algebra I& II

3 WICHTIGE ALGEBRAISCHE STRUKTUREN 38
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3.0.8 Zyklische Gruppen
Sei (G, ·) eine Gruppe und a ∈ G. Dann ist
〈a〉 := 〈{a}〉 = {a k | k ∈ Z}
die von der einelementigen Menge {a} erzeugte Untergruppe. Eine Gruppe, die von nur
einem Element erzeugt wird (präzise: von einer einelementigen Menge), nennt man eine
zyklische Gruppe.
Wenn es ein n ∈ N mit a n = 1 gibt, so folgt:
a i · a n−i = 1 für alle i ∈ Z, also 〈a〉 = 1, a, a 2 , . . . , a n−1 .
3.0.9 Beispiele
1. Sei a die Drehung (der euklidischen Ebene) mit 0 als Zentrum zum Winkel 2π
n
(n ∈ N). Dann ist 〈a〉 = {id, a, a 2 , ..., a n−1 }, und die aufgeführten Elemente sind paarweise
verschieden.
2. In S4 sei a :=
1 2 3 4
2 3 4 1
3. In (Z, +) ist 〈2〉 = {2k | k ∈ Z} = 2Z.
3.0.10 Nebenklassen in einer Gruppe
; dann a 4 = a ◦ a ◦ a ◦ a = id : 〈a〉 = id, a, a 2 , a 3 .
Sei (G, ·) eine Gruppe und U eine Untergruppe. Definiere eine Relation ∼ auf G durch:
g1 ∼ g2 ⇔ g −1
1 g2 ∈ U
Dann ist ∼ eine Äquivalenzrelation. Die Äquivalenzklassen sind die Mengen
gU := {gu | u ∈ U},
wobei g ∈ G ist. Man nennt gU eine Linksnebenklasse nach U. Offenbar ist g = g · 1 ∈ gU:
d.h. gU ist die g enthaltende Äquivalenzklasse der Äquivalenzrelation ∼.