Kurzer roter Faden zu Lineare Algebra I& II

3 WICHTIGE ALGEBRAISCHE STRUKTUREN 36
Beobachtung 41 (Schnitt einer Menge von Untergruppen) Sei (G, ·) eine Grup-
pe und sei C eine Menge von Unterguppen von (G, ·) mit C = ∅. Dann ist
eine Untergruppe von (G, ·) .
C := {g ∈ G | g ∈ U für alle U ∈ C}
Korollar 42 Sei (G, ·) eine Gruppe und X ⊆ G. Wir setzen
C := {U | U Untergruppe von G mit X ⊆ U} .
Dann ist C eine Untergruppe von (G, ·) mit X ⊆ C.
Für alle Untergruppen U ′ von G mit X ⊆ U ′ folgt C ⊆ U ′ . Das bedeutet: C ist
bezüglich ⊆ die kleinste Untergruppe von (G, ·) die X umfaßt).
Bezeichnung Die Untergruppe C im vorigen Korollar heißt die von X erzeugte Unter-
gruppe (in G). Sie wird mit 〈X〉 bezeichnet.
3.0.5 Beispiele
1. G := (Z, +)
Für jedes m ∈ Z ist mZ := {mx | x ∈ Z} eine Untergruppe von (Z, +)
2. ρ := Spiegelung an x-Geraden der euklidischen Ebene
σ := Spiegelung an y-Geraden der euklidischen Ebene
G := Gruppe der Permutationen auf der Menge R 2 .
X := {ρ, σ}.
Dann ist 〈X〉 = {id, ρ, σ, ρσ} die von X in G erzeugte Untergruppe (ρσ ist die
Spiegelung am 0-Punkt).
Lemma 43 (Regeln für das Erzeugnis) Seien G eine Gruppe und X, Y ⊆ G. Dann
gilt:
(a) 〈〈X〉〉 = 〈X〉
(b) Für jede Untergruppe U von G gilt: X ⊆ U ⇔ 〈X〉 ⊆ U
(c) X ⊆ Y ⇒ 〈X〉 ⊆ 〈Y 〉
Die Definition des Gruppenerzeugnis ist recht abstrakt; man muß den Durchschnitt bil-
den über eine im allgemeinen unendliche Menge von Untergruppen. Eine konstruktive
Beschreibung liefert der folgende Satz.