Kurzer roter Faden zu Lineare Algebra I& II

3 WICHTIGE ALGEBRAISCHE STRUKTUREN 48
(2) Die (a, b) enthaltende Äquivalenzklasse bezeichnet man mit a
b
Äquivalenzklassen Brüche. Zwei Brüche a
b
gilt.
Sei Q(R) die Menge der Brüche, Q(R) := { a
b
und nennt diese
und a′
b ′ sind also genau dann gleich, wenn (1)
| a, b ∈ R, b = 0}.
(3) Seien (a, b) ∼ (a ′ , b ′ ) und (c, d) ∼ (c ′ , d ′ ). Dann gilt (ad + cb, bd) ∼ (a ′ d ′ + c ′ b ′ , b ′ d ′ )
und (ac, bd) ∼ (a ′ c ′ , b ′ d ′ ).
Wegen (3) sind die folgenden Verknüpfungen + und · auf Q(R) wohldefiniert (d.h. hängen
nur von den Brüchen a
b , nicht vom Repräsentanten (a, b), ab):
(4) a c ad+cb
b + d := bd
und a
b
c ac · d := bd .
Man verifiziert nun: (5) Q(R) ist ein Körper (mit 0
1
bezüglich + und ·. Das zu a
b
= 0
1
(6) Die Abbildung ϕ : R → Q(R), a ↦→ a
1
(aϕ) + (bϕ) = (a + b)ϕ sowie (aϕ) · (bϕ) = (a · b)ϕ.
und 1
1
inverse Element (bezüglich ·) ist b
a .
ist injektiv, und es gilt
Man sagt: ϕ ist ein Ringisomorphismus von R auf ϕ(R).
als neutralen Elementen
Wegen (6) kann man R, +, · als Unterring von Q(R) ansehen: man muß nur die Elemente
von R umtaufen, statt a ∈ R schreiben a
1 .
Der Quotientenkörper von K[x] (d.h. der Körper, welcher aus den Brüchen mit Polyno-
men im Zähler und Nenner besteht), heißt der rationale Funktionenkörper K(x) über K
(Tradition, - obwohl diese Brüche keine Funktionen sind!).