Einführung in das mathematische Arbeiten - Mathe Online

10 2. UMFORMUNGEN, GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN
Doppelbrüche löst man auf, indem man den Zählerbruch mit dem Kehrwert des Nennerbruches
multipliziert.
3r+2
4r−1
2r+1
r−5
= 3r + 2
4r − 1 · r − 5
2r + 1 = 3r2 − 13r − 10
8r 2 + 2r − 1
1.2. Potenzen, Wurzeln. Potenzieren und Wurzel Ziehen sind zwei zueinander inverse
Operationen. Wurzeln können dabei in Potenzen verwandelt werden. Auch Reziprokwerte
können durch Potenzen ausgedrückt werden. Beachten Sie die Grundregeln
x 0 = 1, x −1 = 1 x , x 1 n =
n √ x
Für reelle Basen gelten darüber hinaus noch die folgenden Rechenvorschriften: Potenzen
der gleichen Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert.
(4z + 5) − 2 3 (4z + 5)
7
5 (4z + 5)
4
15 = (4z + 5)
−10+21+4
15 = 4z + 5
Potenzen werden potenziert, indem man ihren Exponenten multipliziert.
(
(3a 2 + 4b) 6) z
= (3a 2 + 4b) 6z (2.1)
Beachten Sie, dass die Setzung von Klammern in diesem Fall von höchster Wichtigkeit ist.
Potenzen werden nämlich von ”
oben nach unten“ abgearbeitet. Es gelten z.B. die folgenden
Identitäten.
(2 3 ) 3 = 2 9 = 512, 2 33 = 2 27 = 134217728, 2 3 333
= jedenfalls enorm groß ≫ 2
81
Zur Schreibweise: ≫ bedeutet ”
viel größer als“ und ≪ ”
viel kleiner als“.
Summen und Potenzen vertragen sich nicht sehr gut. Es ist also FALSCH in Gleichung
(2.1) weiter umzuformen und daraus eine der folgenden rechten Seiten zu erzeugen
(3a 2 + 4b) 6z ≠ 3a 12z + 4b 6z ,
≠ 3 6z a 12z + 4 6z b 6z .
Der Zusammenhang zwischen Summen und positiven ganzzahligen Potenzen wird später in
Abschnitt 2.6 über den binomischen Lehrsatz erklärt. Auch für Wurzeln gilt ähnliches:
3√
27x3 + 8 ≠ 3x + 2.
Multiplikation und Potenzrechnung vertragen sich andererseits sehr gut. Wenn man in den
Beispielen für fehlerhafte Rechnungen oben die Addition durch Multiplikation ersetzt, werden
manche der Rechnungen richtig:
(3a 2 · 4b) 6z = 3 6z 4 6z a 12z b 6z ,
3√
27x3 · 8 = 6x.
1.3. Funktionen und Argumente. In der Mathematik sind Funktionen wichtige Objekte.
Kommen Funktionen in Rechnungen vor, dann muss man sich in jedem Rechenschritt
davon überzeugen, dass jeder Ausdruck, den man hinschreibt, Sinn macht. In Rechnungen
treten Funktionen zusammen mit Argumenten auf. Diese werden üblicherweise hinter dem
Funktionsnamen in Klammern angegeben. Hängt eine Funktion von mehreren Argumenten
ab, so werden diese innerhalb der Klammern durch Kommas getrennt. Ist die Anzahl der
Argumente variabel oder sehr groß, wird das durch drei Punkte (. . . ) zwischen den Kommas
angegeben.
f(3x + 5z), g(x + 2, y − 4), h(x 1 , x 2 , . . . , x n )