Einführung in das mathematische Arbeiten - Mathe Online

16 2. UMFORMUNGEN, GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN
werden. Dieser Vorgang heißt beweisen. Gilt eine Aussage A als bewiesen und kann man
eine weitere Aussage B logisch aus A ableiten, so gilt auch B als bewiesen.
Die solcherart bewiesenen Aussagen nennt man Sätze oder auch Theoreme. Üblich
in der Literatur ist, zuerst die Aussage des Satzes aufzuschreiben und danach den Beweis
anzuschließen, in dem die Aussage des Satzes aus bekannten Resultaten hergeleitet wird.
Mit diesem Prinzip steht und fällt die Mathematik, daran lässt sich nicht deuteln.
Anstelle von Satz bzw. Theorem werden auch zuweilen andere Ausdrücke verwendet,
die den Stellenwert der Aussagen untereinander im Rahmen der Theorie andeuten. Ob und
wie man diese Begriffe verwendet, ist reine Geschmackssache.
Satz, Theorem: Dies ist das typische Resultat einer Theorie.
Hauptsatz: So wird ein besonders wichtiger Satz in einem Teilgebiet der Mathematik
genannt. Ein Beispiel ist etwa der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung,
den Sie im Rahmen der Analysis Vorlesungen kennen lernen werden.
Lemma: Dieses Wort stammt aus dem Griechischen (die Mehrzahl ist daher Lemmata)
und bedeutet ”
Stichwort“ oder ”
Hauptgedanke“. Es wird in zwei verschiedenen
Zusammenhängen verwendet. Zum einen bezeichnet es ein kleines, meist technisches
Resultat, einen Hilfssatz, der im Rahmen des Beweises eines wichtigen Satzes verwendet
wird aber selbst meist uninteressant ist. Zum anderen handelt es sich dabei
um besonders wichtige Schlüsselgedanken, die in vielen Situationen nützlich sind.
Solche genialen Erkenntnisse tragen meist den Namen des Erfinders (Lemma von
Zorn, Lemma von Urysohn,. . . ).
Proposition: Dies ist die lateinische Bezeichnung für Satz und wird manchmal an
dessen Stelle verwendet, meist aber um ein Resultat zu bezeichnen, dessen Wichtigkeit
zwischen der eines Hilfssatzes und der eines Theorems liegt.
Korollar, Folgerung: Dies ist ein Satz, der aus einem anderen Satz durch triviale
oder sehr einfache Schlussweise folgt. Manchmal ist es ein Spezialfall einer bereits
bewiesenen allgemeineren Aussage. Das Wort Korollar stammt übrigens vom lateinischen
Wort corollarium ab, welches ein Kränzchen bezeichnet, das der Gastgeber
dem Gast ”
einfach so“ schenkt.
Beweis. O.B.d.A. werden wir den Spezialfall 1 = 2 beweisen. Wir werden nur elementare
Umformungen benutzen. Wir beginnen mit reellen Zahlen a und b mit a = b.
Die Abkürzung O.B.d.A. steht für ohne Beschränkung der Allgemeinheit. Korrekt verwendet
man sie zu Beginn eines Beweises oder Beweisteils. Damit wird der Leser auf zwei
Dinge aufmerksam gemacht. Einerseits soll nur ein Teil der Aussage bewiesen werden, und
andererseits ist der Autor des Beweises der Meinung, dass die Gesamtaussage einfach aus
dem Bewiesenen folgt. Es steckt also hinter o.B.d.A. ein weiterer mathematischer Satz ( ”
aus
dem tatsächlich Bewiesenen folgt die Aussage des Satzes“), und o.B.d.A. bedeutet dann, dass
diese Implikation nach Meinung des Autors trivial, also besonders einfach, zu herzuleiten ist.
Zusätzlich zur Beschränkung auf einen Sonderfall, aus dem schon die gesamte Aussage
folgt, kann man O.B.d.A. auch noch zur Vereinfachung der Bezeichnung oder zum Ausschließen
trivialer Sonderfälle verwenden. Beispiele zu diesen Verwendungen werden Sie in
späteren Beweisen finden.