Einführung in das mathematische Arbeiten - Mathe Online

24 2. UMFORMUNGEN, GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN
• Auf der anderen Seite muss man beim Ausmulitplizieren aus jedem Binom entweder
ein a oder ein b entnehmen.
• Der an einer Position notierte Wert wird also zum Binomialkoeffizienten des entsprechenden
Produktes gleich sein (Dies hier noch unbewiesen wird im Weiteren
gezeigt werden.), wobei die Ebene der Potenz entsprechend gewählt werden muss;
die Koeffizienten ( n
k)
von (a + b) n findet man also in der (n + 1)–ten Ebene.
( n
)
k beansprucht also, als Ergebnis den Wert der k–ten Position der n–ten Ebene des
Pascalschen Dreiecks zu haben, wobei die Nummerierung sowohl für n als auch für k mit 0
beginnt. Überlegen wir uns, dass eine Position im Pascalschen Dreieck nur über ihre maximal
zwei Oberen zu erreichen ist und alle Wege, zu den beiden Oberen verschieden sind, so ist
klarer Weise der Wert einer Position gleich der Summe der Werte ihrer (höchstens zwei)
Oberen. Aus dieser Überlegung definieren wir rekursiv:
( 0
:= 1,
0)
( n
:= 0 ∀n ∈ und x < 0 oder x > n,
x)
( n
:=
k)
( n − 1
k − 1
) ( n − 1
+
k
)
.
Proposition 2.2.9. Es gilt:
( n
=
k)
n!
(n − k)!k!
Beweis. Zu beweisen ist: ( n
=
k)
Dafür müssen wir zeigen, dass die Formel
n!
(n − k)!k!
n!
(n − k)!k!
der rekursiven Darstellung von ( n
k)
genügt.
Dabei haben wir zu beachten, dass die Formel nur für n ≥ 0, 0 ≤ k ≤ n gilt. Auerhalb
dieser Grenzen ist ( n
k)
als 0 definiert.
Zuerst untersuchen wir einen Rand (in diesem Fall den linken) des Pascalschen Dreiecks
und zeigen, dass er ausschlielich aus 1en besteht. Aus der zu beweisenden Formel ergibt sich:
( n
=
0)
( n
=
n)
n!
(n − 0)!0! = n!
n! = 1 und
n!
n!(n − n)! = n!
n! = 1.
Wir müssen nun auch beweisen, dass das selbe aus der rekursiven Definition für ( n
k)
folgt.
Dazu verwenden wir das Prinzip der vollständigen Induktion:
Behauptung:
( n
∀n ∈ : = 1
0)