Einführung in das mathematische Arbeiten - Mathe Online

28 2. UMFORMUNGEN, GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN
Induktionsschritt:
(a + b) n+1 = (a + b)(a + b) n
n∑
( n
= (a + b) a
j)
j b n−j
=
=
=
=
n∑
j=0
n∑
j=0
j=0
( n
k)
a j b n−j (a + b)
Induktionsannahme
Ausmultiplizieren
( n
j)
(a j+1 b n−j + a j b n−j+1 Ausmultiplitieren
n∑
( n
( a
j)
j+1 b n−j +
j=0
n∑
j=0
( n
j)
a j+1 b n−j +
( n
j)
a j b n−j+1 )
n∑
j=0
( n
j)
a j b n−j+1
über j + 1 ( = i
n
und 0 = a
0)
n+1 b 0
∑n+1
( ) n
∑n+1
( n
=
a i bn − i + 1 + a
i − 1
j)
j b n−j+1
i=1
(
j=0
n
über 0 = a
−1)
0 b n+1
∑n+1
( ) n
∑n+1
( n
=
a k b n−k+1 + a
k − 1
k)
k b n−k+1
k=0
k=0
∑n+1
(( ) ( )
n
n
=
a k b n−k+1 +
k − 1
k)a k b n−k+1
k=0
∑n+1
(( ) ( n n
= a k b n−k+1 +
k − 1 k))
k=0
∑n+1
( ) n + 1
=
a n b n−k+1
k
k=0
Das beweist den binomischen Lehrsatz.
Ausmulitiplizieren
Aufspalten der Summe
erhalten wir:
erhalten wir:
Beachte: Laufvariablen umbenannt
Vereinigen der Summen
Herausheben
rekursive Definition von ( )
n
k
□
2.7. Verknüpfung mehrerer Gleichungen. Um Systeme von mehreren Gleichungen
in mehreren Variablen lösen zu können, muss man mitunter die einzelnen Gleichngen miteinander
verknüpfen.
Folgende Regeln sollten dabei beachtet werden:
• Forme in jedem Schritt eine Gleichung mit Hilfe der anderen um und ersetze die
originale Gleichung durch die umgeformte Gleichung. Ersetze nie beide an einem
Umformungsschritt beteiligten Gleichungen durch die neu bestimmte Gleichung.
Dadurch ginge Information verloren, und daher ist wäre das keine Äquivalenzumformung.
• Betrachte den Satz ”
Mache in jedem Schritt auf jeder Seite der Gleichung stets
das Gleiche“ genauer. Er impliziert unter anderem, dass man zu einer Gleichung
ein Vielfaches einer anderen Gleichung addieren darf und dass man Gleichungen
miteinander multiplizieren darf. (Wissen Sie, warum das der Fall ist?)