Einführung in das mathematische Arbeiten - Mathe Online

26 2. UMFORMUNGEN, GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN
Wir beweisen ein weiteres Mal mittels vollständiger Induktion:
Induktionsanfang:
( 0 0!
=
( 0)
(0 − 0)!0!
0
= 1 nach Definition
0)
Induktionsannahme:
( j
k)
0!
(0 − 0)!0!
=
j!
(j − k)!k!
= 1 1 = 1
∀j, k ∈
: 0 ≤ j ≤ n, 0 ≤ k ≤ n
Induktionsschritt:
( ) ( ( )
n + 1 n n
= +
rekursive Definition von
k k)
)
n
k
k − 1
n!
=
(n − k)!k! + n!
Induktionsannahme
(n + 1 − k)!(k − 1)!
=
n!(n − k + 1)
(n − k + 1)(n − k)!k! + n!k
(n + 1 − k)!(k − 1)!k Erweitern
=
n!(n − k + 1)
(n + 1 − k)!k! + n!k
(n + 1 − k)!k!
Definition der Fakultät
=
n!(n − k + 1) + n!k
(n + 1 − k)!k!
Zusammenfassen der Brüche
n!(n + k − k + 1)
= Herausheben
(n + 1 − k)!k!
n!(n + 1)
=
Addieren
(n + 1 − k)!k!
(n + 1)!
=
Definition der Fakultät
(n + 1 − k)!k!
Das beweist, dass die Formel der rekursiven Darstellung von ( n
k)
genügt. □
Zum Rechnen mit dieser Formel für ( n
k)
empfielt es sich, zu kürzen:
( n n!
=
k)
k!(n − k)!
n(n − 1) . . . (n − k + 1)
=
∏ k−1
k!
i=0
(n − i)
=
k!
Mit Hilfe der in Proposition 2.2.9 nachgewiesenen Formel lässt sich die Definition des Binomialkoeffitienten
wie folgt erweitern:
Definition 2.2.10. Der Binomialkoeffizient ist für £ α ∈ und k ∈ definiert durch:
( α α(α − 1) . . . (α − k + 1)
=
k)
∏
k!
k−1
i=0
(α − i)
=
.
k!
Kehren wir nach diesem Ausflug in die Kombinatorik zum Binomischen Lehrsatz zurück,
den wir als Nächstes beweisen werden: