Einführung in das mathematische Arbeiten - Mathe Online

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30 2. UMFORMUNGEN, GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN Beachte, dass die Subtraktion von Ungleichungen implizit eine Multiplikation mit −1 beinhaltet! • Bei der Multiplikation von Ungleichungen ist darauf zu achten, dass nur multipliziert werden darf, wenn alle beteiligten Ausdrücke positiv sind. Sonst muss sorgfältig überprüft werden, wie die Ungleichheitszeichen stehen, bzw. ob die Umformung überhaupt durchgeführt werden darf. • Funktionen dürfen nur angewendet werden, wenn sie auf dem Bereich der linken und rechten Seiten der Ungleichung monoton sind. Sind sie monoton wachsend, so behält das Ungleichungszeichen seine Richtung. Sind sie jedoch monoton fallend, so ändert das Ungleichungszeichen seine Stellung. e 4x+5 < e 3y−5 , 4x + 5 < 3y − 5 weil log monoton wächst. Ist die anzuwendende Funktion nicht monoton, so muss man eine Fallunterscheidung treffen. | log
KAPITEL 3 Elementare Funktionen Die in diesem Kapitel vorgestellten Funktionen gelten in der Mathematik gemeinhin als die elementaren Funktionen. Der Gebrauch des bestimmten Artikels ist in der Mathematik äußerst eingeschränkt. Es gibt eine feste Regel, die nie gebrochen werden darf. Der bestimmte Artikel darf nur dann verwendet werden, wenn es klar ist, dass das fragliche Objekt eindeutig bestimmt ist. So ist es unzulässig zu formulieren • . . . die Matrix, die einer lineare Abbildung f entspricht. . . (denn sie ist nicht eindeutig). • . . . die Basis des £ 3 . Richtig wäre es dagegen zu sagen: • Sei n die kleinste natürliche Zahl mit . . . • . . . die leere Menge. • . . . die Menge der natürlichen/ganzen/rationalen/reellen Zahlen. Laut Übereinkunft werden die elementaren Funktionen weiter unterteilt in zwei Klassen, die algebraischen Funktionen und die transzendenten Funktionen. 1. Algebraische Funktionen 1.1. Konstante Funktionen. Die Funktion f(x) = c, c £ ∈ hat Grad 0 für c ≠ 0. (Für c = 0 setzt man den Grad von f aus verschiedenen Gründen gleich −∞.) Sie hat als Definitionsbereich D(f) £ = und ist überall monoton (steigend und fallend), doch nirgendwo streng monoton. Jeder Punkt £ in ist lokales Maximum und lokales Minimum. Die Funktion ist beschränkt und nicht invertierbar. Sie ist überall konvex und konkav. Der Wertebereich von f ist W (f) = {c}. 1.2. (Affin) Lineare Funktionen. Die Funktion f(x) = ax + b, a, b ∈ £ , a ≠ 0 heißt (affin) lineare Funktion. Ihr Definitionsbereich D(f) £ = . Sie hat den Grad 1. Ihre einzige Nullstelle liegt bei x = −b . Sie ist streng monoton steigend, falls a > 0, und fallend, a falls a < 0. Sie ist überall konvex und konkav. Ihr Wertebereich £ ist . 1.3. Quadratische Funktionen. Die Funktion f(x) = ax 2 + bx + c, a, b, c ∈ £ , a ≠ 0 heißt quadratische Funktion. Ihr Definitionsbereich D(f) £ = . Sie hat Grad 2, und sie besitzt zwei komplexe Nullstellen. Diese Nullstellen sind reell, falls die Diskriminante ∆ := b 2 − 4ac > 0 ist. Gilt ∆ = 0, so fallen die Nullstellen zusammen und sind gleichzeitig lokaler Extremwert. Die quadratische Funktion besitzt immer genau ein lokales Extremum bei x E = −b . Es ist ein lokales Minimum, falls a > 0, und ein lokales Maximum für a < 0. 2a 31
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Seite 65 und 66: 3. MENGEN 63 Aus der Definition seh
Seite 67 und 68: 3. MENGEN 65 Eine Teilmenge E ⊆ M
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Seite 71 und 72: 3. MENGEN 69 Auch hier ist ∞ nur
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3. KÖRPER 81 Beweis. Einfach. □
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84 6. ZAHLENMENGEN definiert. Dann
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86 6. ZAHLENMENGEN existiert für b
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88 6. ZAHLENMENGEN (4) ∀k, m, n
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90 6. ZAHLENMENGEN ≤: Die Ordnung
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92 6. ZAHLENMENGEN (2) Sind m = [(m
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94 6. ZAHLENMENGEN Beweis. Beginnen
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5. Die komplexen Zahlen ¤ 96 6. ZA
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98 7. ANALYTISCHE GEOMETRIE Ist u
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100 7. ANALYTISCHE GEOMETRIE Beweis
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102 7. ANALYTISCHE GEOMETRIE NOTHIN
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KAPITEL 9 Trigonometrie 105
Seite 111:
KAPITEL 11 Integralrechnung 109
Seite 115:
Literaturverzeichnis [Beutelspacher
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