Einführung in das mathematische Arbeiten - Mathe Online

36 3. ELEMENTARE FUNKTIONEN
Im folgenden sei f stets in reduzierter Form. Der Definitionsbereich ist D(f) £ = \ N Q ,
wobei N Q die Menge aller Nullstellen des Nennerpolynoms Q ist. Die Funktion f besitzt an
allen Nullstellen des Nennerpolynoms einen Pol, dessen Ordnung der Ordnung der Nullstelle
von Q entspricht. An Polen x p ungerader Ordnung strebt f auf einer Seite des Pols gegen
+∞ und auf der anderen Seite gegen −∞. An geraden Polen strebt die Funktion auf beiden
Seiten in dieselbe Richtung“.
”
Die Nullstellen von f sind genau die Nullstellen des Zählerpolynoms. Das Verhalten bei
±∞ zu bestimmen hängt von den Graden von P und Q ab. Ist der Grad von Q größer
als der Grad von P , so strebt die Funktion gegen 0. Sind die Grade gleich, dann ist die
Gerade y = pn
q n
eine waagrechte Asymptote. Ist der Grad von P größer als der Grad von Q
so wandelt man um wie in Gleichung 3.3. Bei ±∞ verhält sich dann die rationale Funktion
wie das Polynom R 0 .
1.7. Irrationale Funktionen. Irrationale algebraische Funktionen sind Kombinationen
von rationalen Funktionen mit Wurzelfunktionen, z.B.
f(x) = 4√ x 3 + 4x + 2
f(x) = (x2 − 2) √ 3x + 4
(x − 5) 2 3√ x 2 + x + 1
Bei der Bestimmung des Definitionsbereiches ist darauf zu achten, dass zusätzlich zu den
Nullstellen des Nenners auch jene Bereiche untersucht werden, in denen die Argumente der
Wurzelfunktionen deren Definitionsbereich verlassen.
2. Transzendente Funktionen
2.1. Exponentialfunktion, Logarithmus. Die erste Klasse von transzendenten Funktionen,
die wir hier betrachten wollen, sind die Exponentialfunktionen und ihre Umkehrungen,
die Logarithmusfunktionen.
Die Funktion f heißt Exponentialfunktion zur Basis a, wenn sie die Gestalt
f(x) = a x , a ∈ £ , a > 0, a ≠ 1
hat. Es gilt D(f) = £ , und W (f) = £ + . Für a > 1 ist die Funktion streng monoton
wachsend und für 0 < a < 1 ist sie streng monoton fallend. Ferner ist sie auf ganz £ konvex
und besitzt keine Extrema oder Wendepunkte.
Jede Exponentialfunktion erfüllt die Funktionsgleichung
f(x + y) = f(x)f(y),
d.h. es gilt a x+y = a x a y .
Weil die Exponentialfunktionen zur Basis a streng monoton sind, sind sie auch bijektive
Abbildungen £ → £ + , also umkehrbar. Ihre Umkehrfunktionen heißen Logarithmusfunktionen
zur Basis a, und wir schreiben
g(x) = log a (x).
Der Definitionsbereich der Logarithmusfunktionen ist £ + . Sie sind streng monoton wachsend
für a > 1 und streng monoton fallend für 0 < a < 1. Logarithmusfunktionen haben genau
eine Nullstelle bei x = 1. Sie erfüllen die Funktionsgleichung
g(xy) = g(x) + g(y).
In der Mathematik ist aus vielen Gründen eine Basis ausgezeichnet gegenüber allen anderen,
die Eulersche Zahl
e := lim
(1 + 1 ) n
≈ 2.718281828459 . . .
n→∞ n