Einführung in das mathematische Arbeiten - Mathe Online

22 2. UMFORMUNGEN, GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN
Verwendet man eine explizite Zahlenangabe, so bedeutet das automatisch, dass man verschiedene
Objekte betrachtet. Der Satz
Sei M eine Menge aus n paarweise verschiedenen Primzahlen.
ist nur dann sinnvoll, wenn man aus didaktischen Gründen die Verschiedenheit herausstreichen
möchte. Ansonsten wäre es richtig folgendermaßen zu formulieren:
Sei M eine Menge von n Primzahlen.
Schließlich: Verwenden Sie niemals die Zahl 1 als Ersatz für den unbestimmten
Artikel!
Die Lösung von Polynomgleichungen höheren als zweiten Grades macht es notwendig,
einzelne Lösungen zu erraten. Hat man das geschafft, kann man den Grad der Gleichung um
1 verringern.
Zu diesem Zweck ist es notwendig, den Algorithmus der Polynomdivision zu beherrschen,
der hier an Hand eines Beispieles erklärt sei.
(4x 5 + 3x 4 − 12x 2 + 21x − 19) : (x 2 − 4x + 11) = 4x 3 Z1
4x 5 − 16x 4 + 44x 3 Z2
0 + 19x 4 − 44x 3 = + 19x 2 Z3
19x 4 − 76x 3 + 209x 2 Z4
0 + 32x 3 − 221x 2 = + 32x Z5
32x 3 − 128x 2 + 352x Z6
0 − 93x 2 − 331x = − 93 Z7
− 93x 2 + 372x − 1023 Z8
0 − 703x + 1004 Z9
Die Zeile Z1 ergibt sich, da 4x 3 · x 2 = 4x 5 ist. Dann wird in Z2 4x 3 mit dem Divisor
multipliziert und das Ergebnis subtrahiert. Das Resultat steht in Zeile Z3, was den ersten
Divisionsschritt abschließt. Dann wird 19x 2 als nächstes Ergebnis berechnet, weil 19x 2 ·
x 2 = 19x 4 gilt. Eine weitere Multiplikation in Z4 und eine Subtraktion liefert das nächste
Zwischenergebnis in Zeile Z5. Daraus wird das nächste Ergebnis 32x wieder wegen 32x·x 2 =
32x 3 errechnet. Dann folgen wieder Multiplikation (Z6) und Subtraktion (Z7), ein weiteres
Ergebnis −93, noch eine Multiplikation (Z8) und schließlich steht in Z9 nach der letzten
Subtraktion der Divisionsrest −703x+1004. Den Quotienten erhält man durch Addition der
Terme auf der rechten Seite: 4x 3 + 19x 2 + 32x − 93. Gesamt können wir schreiben:
4x 5 + 3x 4 − 12x 2 + 21x − 19
x 2 − 4x + 11
= 4x 3 + 19x 2 + 32x − 93 +
Für Nullstellensuche kann man den Algorithmus wie folgt einsetzen:
Beispiel 2.2.8. Wir versuchen, alle Nullstellen der Gleichung
p(x) := x 3 − 2x 2 − 2x − 3 = 0
−703x + 1004
x 2 − 4x + 11 .
zu finden. Wir hoffen, dass eine rationale Nullstelle existiert. Wir verwenden das Ergebnis,
dass eine rationale Nullstelle eines ganzzahligen Polynoms Teiler des konstanten Gliedes sein
muss. In diesem Fall kommen also alle Teiler von −3, also {±1, ±3}, in Frage. Ausprobieren
liefert p(3) = 0. Mit diesem Wissen können wir den Fundamentalsatz der Algebra anwenden
und schließen, dass es ein quadratisches Polynom q geben muss mit p(x) = (x−3)q(x). Dieses
Polynom q lässt sich mit Hilfe der Polynomdivision berechnen. Wir erhalten q(x) = p(x) :
(x − 3) = x 2 + x + 1 ohne Rest. Von q können wir schließlich die Nullstellen mit Hilfe der
kleinen Lösungsformel für quadratische Gleichungen berechnen. Wir finden zwei komplexe
Nullstellen x 2,3 = (−1 ± √ 3)/2. Zusammen mit x 1 = 3 sind das alle drei Nullstellen der
untersuchten Gleichung.