Einführung in das mathematische Arbeiten - Mathe Online

38 3. ELEMENTARE FUNKTIONEN
x grad x x grad x x grad x
30 ◦ π 6
120 ◦ 2π 3
225 ◦ 5π 4
45 ◦ π 4
135 ◦ 3π 4
270 ◦ 3π 2
60 ◦ π 3
150 ◦ 5π 6
315 ◦ 7π 4
90 ◦ π 2
180 ◦ π 360 ◦ 2π
Tabelle 3.1. Wichtige Winkel in Radiant und Grad
Grundsätzlich dienen Definitionen dazu, neue Abkürzungen einzuführen. Man kann jederzeit
den definierten Begriff durch die definierende Beschreibung ersetzen, und manchmal
muss man das auch tun, speziell in Beweisen.
Den Sinn von Definitionen rein darauf zu reduzieren, dass sie Abkürzungen einführen,
heißt aber, die Bedeutung von Definitionen stark unterzubewerten. Eine Definition ist ein
schöpferischer Akt! Es ist einer der bedeutendsten Schritte in der Entwicklung einer mathematischen
Theorie, die wichtigen Objekte zu erkennen und ihnen Namen zu geben. Dadurch
rücken sie ins Zentrum des Interesses, es werden neue Begriffe geschaffen, und man kann
beginnen, sich mit diesen neuen Begriffen auseinanderzusetzen.
In diesem Zusammenhang ist noch einmal wichtig heraus zu streichen, dass eine Definition
niemals falsch sein kann (abgesehen von Prüfungen, wenn bereits bestehende Definitionen
falsch rezitiert werden), sie kann allerdings sinnlos sein.
Scheuen Sie nicht davor zurück, bei der Lösung Ihrer Aufgaben, wichtigen Objekten
eigene Namen zu geben z.B. ”
starke“ Matrizen, ”
coole“ Elemente,. . . .
Viele Definitionen verwenden nicht nur verbale Ausdrücke sondern auch mathematische
Symbolik. Z.B. Die Menge P aller Primzahlen könnte symbolisch definiert werden als
P := {n ∈ ¡ |n > 1, ∀m ∈ ¡ : (m|n =⇒ (m = 1 ∨ m = n))}.
Die Präzision der Beschreibung hängt aber nicht davon ab, wie wenige Worte man verwendet.
Man sollte nur stets in der Lage sein, zwischen verbaler und formaler Beschreibung hin
und her zu schalten. Es ist wichtig, schon zu Beginn die Fähigkeit zu trainieren, die eine
Beschreibung in die andere zu verwandeln.
Die Exponentialfunktion zur Basis e heißt auch die Exponentialfunktion. Der Logarithmus
zur Basis e wird meist log (manchmal auch ln) geschrieben und wird der natürliche
Logarithmus genannt.
2.2. Trigonometrische Funktionen und deren Umkehrungen. Beginnen wir unseren
Exkurs über die Kreisfunktionen (trigonometrischen Funktionen) mit einem
Einheitskreis. In Abbildung 3.9 sind die vier Winkelmaße zum Winkel x eingezeichnet. Wie
in der Mathematik üblich, ist der Winkel im Bogenmaß (Radiant) angegeben, d.h. durch
die Länge des Kreisbogens, der dem Winkel entspricht. Die Umrechnung von Radiant (x) in
Grad (x grad ) und umgekehrt erfolgt gemäß der folgenden Formel
x grad = 180x
π , x = πx grad
180 .
Wichtige Winkel, die häufig vorkommen, sind in Tabelle 3.1 angegeben, damit sie besser
memoriert werden können. Betrachten wir Abbildung 3.9, so sehen wir einen Einheitskreis,
der von einer Halbgeraden g geschnitten wird. Die Länge des Bogens vom Punkt (1, 0) zum
Schnittpunkt des Kreises mit g wird mit x bezeichnet und gibt, wie gesagt den Winkel, den
g mit der x 1 –Achse einschließt, in Radiant an. Der Schnittpunkt hat dann die Koordinaten
(cos x, sin x). Die Längen tan x und cot x sind als diejenigen Längen eingezeichnet, die g von
der senkrechten, bzw. waagerechten, Tangente an den Einheitskreis abträgt.
2.2.1. Sinus. Der Sinus...