Einführung in das mathematische Arbeiten - Mathe Online

1. HÜRDEN ZU STUDIENBEGINN 5
verschachtelte Sätze sind schwer verständlich und lassen weder den Verfasser intelligenter
wirken noch den Text glaubwürdiger werden.
Jeder Satz, den Sie schreiben, muss (zumindest für Sie) einen Sinn haben:
Vermeiden Sie, durch übertriebene Symbolsetzung und logische Formalismen Ihre Aussagen
so zu verschlüsseln, dass am Ende nicht einmal Sie selbst auf Anhieb ihren Inhalt verstehen.
Schließlich die wichtigste Regel: Brechen Sie ruhig alle hier vorgestellten Regeln, wenn
Sie sich durch sie eingeengt fühlen, und wenn Sie wissen, was Sie tun.
1.3. Q.E.D.“ — Beweise. Seit Euklid im dritten Jahrhundert vor Christus seine Elemente
geschaffen hat, in der er die gesamte damals bekannte Mathematik zusammengefasst
”
hat, ist die logische Struktur, das Fundament der Mathematik, auf Beweisen errichtet.
Auf diese Weise wird sichergestellt, dass in der mathematischen Welt die gemachten
Aussagen rein logisch nachgewiesen oder widerlegt werden können. Sie müssen nicht durch
” Experimente“ oder Expertengutachten“ gestützt werden. Auch der in vielen Wissenschaften
wohlbekannte philosophische Kampf zwischen verschiedenen Schulen und Lehrmeinun-
”
gen findet in der Mathematik nicht statt, oder beschränkt sich zumindest darauf, ob ein
bestimmtes Gebiet interessant bzw. modern ist oder eben nicht.
Das Beweisen ist für Studienanfänger ungewohnt, die aus der Schule gewöhnt sind, die
Aussagen ihres Lehrers aufzunehmen und die vorgestellten Methoden nachzuvollziehen. Es ist
in der Schule unökonomisch, alle Aussagen des Lehrers zu hinterfragen. Auf der Universität
wird dies anders. Grundsätzlich sollte man scheinbar sein gesamtes Vorwissen hinter sich
lassen und sich von neuem von den bisher geglaubten Tatsachen überzeugen (lassen).
Ein großer Fehler von Studienanfängern besteht darin, bei Übungsbeispielen von bis dahin
unbewiesenen Tatsachen auszugehen und Beispiele oder Beweise dadurch fälschlicherweise
abzukürzen oder gar zu verderben. Darum
Unterscheiden Sie im Rahmen eines Beweises oder einer Übungsaufgabe
immer genau zwischen den Resultaten, die sie verwenden
dürfen und denen die Sie kennen, oder zu kennen glauben.
Das scheint nur auf den ersten Blick sinnlos. In Wahrheit wird damit ein zweifacher
Zweck verfolgt. Zum einen wird der Blick dafür geschult, keine Lücken im mathematischen
”
Gebäude“ zu hinterlassen. Oft ist das der Sinn hinter einem scheinbar einfachen Übungsbeispiel.
Zum anderen wird darauf vorbereitet, auch Beweise in mathematischen Strukturen zu
finden, die ärmer an Eigenschaften sind und für die manche Resultate nicht gelten.
Zuletzt noch einige sprachliche Hinweise:
Stellen Sie ihre Beweise sorgfältig dar: Dadurch vermeiden Sie es, Lücken in der
Kette logischer Schlüsse zu übersehen. Wesentlich bei der Erstellung von Beweisen ist eine
sinnvolle Gliederung und sinnvolle Untergliederungen.
Beachten Sie beim Beweisen zu Beginn die folgenden Prinzipien:
Sagen Sie, was Sie beweisen: Außerdem sollten Sie an jeder Stelle im Beweis sicherstellen,
dass der Hörer oder Leser genau weiß, welche Teilbehauptung Sie gerade untersuchen.
Folgen Sie dem folgenden Grundprinzip:
Sagen Sie immer, was Sie als nächstes vorhaben, führen Sie es
durch, und sagen Sie danach, dass Sie es getan haben.
Es empfiehlt sich auch, zu Beginn die zu beweisende Aussage in mathematische Form zu
übersetzen.
Gliedern Sie ihren Beweis: Alle Beweise, die länger als etwa eine halbe Seite sind,
sollten in Teilabschnitte unterteilt werden. Zerlegen Sie den Beweis in eine Reihe von Teilbehauptungen
oder Fälle. Kennzeichnen Sie diese mit Einschüben wie Schritt 1:, Schritt 2:,