Einführung in das mathematische Arbeiten - Mathe Online

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44 3. ELEMENTARE FUNKTIONEN 5 4 3 sinh(x) cosh(x) 1/2 e x 1/2 e -x 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Abbildung 3.17. Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 Abbildung 3.18. Tangens hyperbolicus und Cotangens hyperbolicus
KAPITEL 4 Logik, Mengenlehre Dieses Kapitel handelt von den Grundlagen der Mathematik. Der Abschnitt über Boolesche Algebren sollte schon aus der Schule bekannt sein. Versteht man erst das Prinzip von Booleschen Algebren, so hat man damit schon den ersten Schritt zum Verständnis der Aussagenlogik getan. Die Bedeutung der Quantoren wird im darauf folgenden Abschnitt erklärt, und schließlich wird auf naive Weise die erste mathematische Struktur eingeführt, die Mengen. 1. Boolesche Algebren In diesem Abschnitt wollen wir nochmals das Kapitel über Boolesche Algebren aus der Schule aufarbeiten. Es soll uns nicht dazu dienen, daraus die Grundlage der Mathematik zu bauen. Wir werden uns dabei außerdem auf die Schaltalgebra beschränken, ein Konzept, das für das Verständnis der Informatik von großer Bedeutung ist. Elektronische (auch elektrische) Schaltungen bestehen aus elektrischen Leitungen und aus Schaltern. Jede Leitung kann sich in zwei Zuständen befinden (Strom führend bzw. nicht Strom führend), so wie sich jeder Schalter zwei Zustände (Stellungen) hat: Ein“ und ” ” Aus“. Mathematisch kann man sowohl den Zustand einer Leitung als auch die Stellung eines Schalters mit Hilfe einer Variable beschreiben, die zwei Werte annehmen kann: 0 oder 1. Eine solche Variable nennt man binäre Variable. Mit Schaltern kann man steuern, ob Strom durch eine bestimmte Leitung fließt oder nicht. Das heißt die Schalterzustände steuern die Zustände von Leitungen. Schaltet man den Schalter ein, so läßst er den Strom passieren, und ergibt sich ein geschlossener Stromkreis, so fließt Strom durch die Leitung. In der Computertechnik wurden mit Hilfe von Transitoren Schaltungen entwickelt, die wie elektronische Schalter funktionieren. Führt dort eine bestimmte Leitung A Strom, so verhält sie sich wie ein Schalter im Zustand Ein“ für eine ” andere Leitung B. Fließt kein Strom durch Leitung A, so verhält sie sich wie ein Schalter im Aus“–Zustand für Leitung B. ” Baut man eine komplizierte Schaltung aus mehreren Schaltern, die durch Leitungen verbunden sind, so ist meist auf den ersten Blick nicht zu erkennen, welche Leitung bei welchen Schalterstellungen Strom führen und welche nicht. Man kann sich dann einen Überblick verschaffen, indem man so genannte Schaltwerttabellen aufstellt. An einigen einfachen Schaltungen sei das Prinzip demonstriert. • Setzt man in einem Stromkreis wie in Abbildung 4.1 zwei Schalter hintereinander, bildet man also eine Serienschaltung, und untersucht, wann die Leitung Strom führt, erhält man folgende Schaltwerttabelle: a b a ∧ b 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 45
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KAPITEL 11 Integralrechnung 109
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Literaturverzeichnis [Beutelspacher
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