Einführung in das mathematische Arbeiten - Mathe Online

48 4. LOGIK, MENGENLEHRE
Beispiel 4.1.2. Konstruieren wir die disjunktive Normalform zur Schaltwerttabelle
Die disjunktive Normalform ist dann
a b c f(a, b, c) UND-Verknüpfung
0 0 0 1 ¬a ∧ ¬b ∧ ¬c
0 0 1 0
0 1 0 1 ¬a ∧ b ∧ ¬c
0 1 1 1 ¬a ∧ b ∧ c
1 0 0 1 a ∧ ¬b ∧ ¬c
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1 a ∧ b ∧ c
f(a, b, c) = (¬a ∧ ¬b ∧ ¬c) ∨ (¬a ∧ b ∧ ¬c) ∨ (¬a ∧ b ∧ c) ∨ (a ∧ ¬b ∧ ¬c) ∨ (a ∧ b ∧ c).
Die disjunktive Normalform ist üblicherweise sehr kompliziert, und die Frage ist, ob man
eine einfachere Schaltung konstruieren kann, die dieselbe Schaltwerttabelle ergibt. Man kann
leicht mit Hilfe einzelner Schaltwerttabellen überprüfen, dass die Grundoperationen ∧, ∨ und
¬ über folgende Gesetze miteinander zusammenhängen:
Theorem 4.1.3. Für die Operationen ∧, ∨ und ¬ gelten die folgenden Rechenregeln.
Dabei seien a, b und c Aussagen.
Kommutativgesetze:
Assoziativgesetze:
Distributivgesetze:
Verschmelzungsgesetze:
Idempotenzgesetze:
Neutralitätsgesetze:
Absorptionsgesetze:
Komplementaritätsgesetze:
Gesetz der doppelten Verneinung:
Gesetze von DE MORGAN:
a ∨ b = b ∨ a
a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c
a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
a ∨ (b ∧ a) = a
a ∨ a = a
a ∨ 0 = a
a ∨ 1 = 1
a ∨ ¬a = 1
¬0 = 1
¬1 = 0
¬(¬a) = a
a ∧ b = b ∧ a
a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c
a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
a ∧ (b ∨ a) = a
a ∧ a = a
a ∧ 1 = a
a ∧ 0 = 0
a ∧ ¬a = 0
¬(a ∨ b) = ¬a ∧ ¬b ¬(a ∧ b) = ¬a ∨ ¬b
Beweis. Aufstellen der Schaltwerttabellen.
□
Bemerkung 4.1.4. Eine mathematische Struktur mit 0, 1 und drei Operationen ∧, ∨
und ¬, die die Rechengesetze
(1) Kommutativgesetze
(2) Distributivgesetze
(3) Neutralitätsgesetze
(4) Komplementaritätsgesetze
erfüllt, heißt Boolesche Algebra. Alle anderen Rechengesetze aus Theorem 4.1.3 lassen
sich aus diesen acht herleiten.