Einführung in das mathematische Arbeiten - Mathe Online

18 2. UMFORMUNGEN, GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN
so muss man sich zuvor überzeugen, dass die Vorzeichen auf beiden Seiten überein stimmen.
Dies ist im obigen Beispiel nicht der Fall, und daher hätten wir schreiben müssen
( )
4 −
9 2 (
2 = 5 −
9 2
2)
⇐=
4 − 9 = 5 − 9.
2 2
Allgemein muss man bei der Anwendung von Umkehrfunktionen f −1 darauf achten, dass
die Funktion f, die man entfernen“ möchte, injektiv ist, auf den Definitionsbereichen beider
”
Seiten der Gleichung.
Beispiel 2.2.5. Normalerweise ist das Quadratwurzel Ziehen nicht erlaubt, weil die
£ £
£ £
£
Funktion f(x) = x 2
+
nicht injektiv ist als Abbildung f : → 0 . Schränken wir aber f
+
auf eine Abbildung 0
+
→ 0 ein, dann ist f injektiv, und wir können gefahrlos Wurzel
ziehen.
Sei x ≥ 0, und seien a, b ∈ . Dann gilt
4x 2 = (a 2 + b 2 ) 2
2x = a 2 + b 2
x = 1 2 (a2 + b 2 ),
und diese Umformung ist richtig, da wir schon wissen, dass x ≥ 0 und a 2 + b 2 ≥ 0 gelten.
Ist die Anwendung der Umkehrfunktion zwingend nötig, um eine Rechnung fortsetzen zu
können, so muss man bei Mehrdeutigkeit Fallunterscheidungen durchführen.
Um wieder zum Beispiel Quadratwurzel“ zurückzukehren, sehen wir uns an, wie der
”
vorletzte Umformungsschritt im falschen Beweis von Theorem 2.2.4 richtigerweise geführt
hätte werden müssen.
) 2 ( )
= 5 −
9 2
2
4 − 9 = ±(5 − 9)
2 2
(
4 −
9
2
1. Fall: Vorzeichen +:
4 − 9 = 5 − 9 2 2
− 1 = 1 ist offensichtlich falsch
2 2
2. Fall: Vorzeichen −:
4 − 9 = −( )
5 − 9 2 2
− 1 = − 1 was stimmt.
2 2
Der 1. Fall führt offensichtlich zu einem unsinnigen Ergebnis und muss daher verworfen
werden. Der 2. Fall hingegen liefert das richtige Resultat.
Die Eigenschaften der elementaren Funktionen werden wir in Kapitel 3 wiederholen.
Überlegen Sie sich zu jeder der betrachteten Funktionen, ob sie gefahrlos auf den beiden
Seiten einer Gleichung angewendet werden kann.
2.3. Spezielle Gleichungen. Das Ziel der Gleichungsumformungen ist stets, so lange
Äquivalenzumformungen durch zu führen bis eine spezielle Gleichung übrig bleibt, deren
Lösung man in einem Schritt ablesen kann.
Die einfachste Gleichung ist zweifellos die lineare Gleichung:
ax = b
mit der Lösung x = b a .
In der Schule wird auch häufig von der quadratischen Gleichung Gebrauch gemacht
ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.