Einführung in das mathematische Arbeiten - Mathe Online

14 2. UMFORMUNGEN, GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN
Die Anwendung dieser Zeichen folgt demselben Schema wie die des Summenzeichens. So
ist etwa
5∏
b i = b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 ,
i=1
0∏
x i = 1,
i=1
Das leere Produkt“ (obere Grenze ist kleiner als untere Grenze) wird also als 1 festgelegt.
”
Oft lassen sich Teile der verknüpften Ausdrücke vor das Verknüpfungszeichen ziehen,
wobei man stets darauf achten muss, dass dies nach den Rechenregeln für die jeweilige
Operation geschieht. Beim Summenzeichen verwendet man das Herausheben:
n∑
n∑
7x i = 7 x i .
Achtung: Man kann nur Konstante herausheben! Also nicht:
n∑
n∑
ix i ≠ i x i .
i=1
i=1
Beim Produktzeichen muss man beachten, dass solche Konstanten ja multipliziert werten!
Daher:
n∏ ∏ n
7x i = 7 n x i .
i=1
Man kann das Produktzeichen auch verwenden um Fakultäten anzuschreiben:
n∏
n! = i ∀n ≥ 0.
Definition 2.1.2. Die Fakultät ist rekursiv definiert durch:
i=1
0! := 1
i=1
i=1
i=1
(n + 1)! := n!(n + 1)
Dieser Ausdruck wird besonders für kombinatorische Probleme benötigt. So gibt n! die
Anzahl der Möglichkeiten an, n verschiedene Dinge hintereinander aufzureihen.
Eine wesentliche Vereinfachung ist bei Summanden spezieller Gestalt möglich, namlich
für sogenannte Teleskopsummen:
n∑
(a i − a i−1 ) = a 1 − a 0 + a 2 − a 1 + a 3 − a 2 + · · · + a n−1 − a n−2 + a n − a n−1 = a n − a 0
i=1
Analog ergeben sich Teleskopprodukte:
n∏ a i
= a n
a i−1 a 0
i=1
2. Gleichungen
Zusätzlich zu den Grundregeln zur Umformung von Ausdrücken kommen weitere, wenn
es darum geht, Gleichungen umzuwandeln und zu lösen. Ähnlich wie bei Termen