Einführung in das mathematische Arbeiten - Mathe Online

20 2. UMFORMUNGEN, GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN
Symmetrische Gleichungen ungerader Ordnung 2m + 1 haben eine Eigenschaft, die ebenfalls
Vereinfachungen zulässt. Sie können immer auf eine symmetrische Gleichung der Ordnung
2m zurückgeführt werden, da −1 immer eine Lösung ist. Anhand der Ordnungen 3 und
5 sei die Methode erläutert:
ax 3 + bx 2 + bx + a = 0
(x + 1) ( ax 2 + (b − a)x + a ) = 0 eine Lösung ist x 1 = −1
ax 2 + (b − a)x + a = 0 ist eine quadratische
Gleichung für x 2,3 .
ax 5 + bx 4 + cx 3 + cx 2 + bx + a = 0
(x + 1) ( ax 4 + (b − a)x 3 + (c − b + a)x 2 + (b − a)x + a ) = 0 eine Lösung ist x 1 = −1
ax 4 + (b − a)x 3 + (c − b + a)x 2 + (b − a)x + a = 0 ist eine symmetrische
Gleichung 4. Ordnung
für x 2,3,4,5 .
Beispiel 2.2.6. Versuchen wir, die Gleichung
mit Hilfe obiger Methode zu lösen.
4x 5 − 12x 4 + 7x 3 + 7x 2 − 12x + 4 = 0
4x 5 − 12x 4 + 7x 3 + 7x 2 − 12x + 4 = 0
(x + 1)(4x 4 − 16x 3 + 23x 2 − 16x + 4) = 0, x 1 = −1
4x 4 − 16x 3 + 23x 2 − 16x + 4 = 0
4(x 2 + 1 x 2 ) − 16(x + 1 x ) + 23 = 0, u = x + 1 x
4(u 2 − 2) − 16u + 23 = 0
4u 2 − 16u + 15 = 0
und zwei komplexe Nullstellen:
u 1,2 = 16 ± √ 256 − 240
= 5 2
8
, 3 2
x 2 − u i x + 1 = 0
√
x 2,3,4,5 = u i
± u 2 i
2 4
− 1
x 2,3 = 5 4 ± √
25
16 − 1 = 2, 1 2
x 4,5 = 3 4 ± √
9
− 1 = 3±√ 7i
16 4
2.4. Spezielle Umformungen. Eine Reihe spezieller Regeln helfen dabei, Gleichungen
umzuformen und zu lösen. Dieser Abschnitt versucht, eine kurze Zusammenfassung der
Grundtechniken, die aus der Schule bekannt sein sollten.
2.4.1. Elementare Beziehungen. Die folgende, nicht vollständige Liste von elementaren
Umformungen sind nützlich bei der Behandlung von Gleichungen: Im folgenden seien
a, b, c reelle Zahlen und n, m natürliche Zahlen.
• (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 ,
• (a + b) n der binomische Lehrsatz wird in Abschnitt 2.6 genauer behandelt.
• a 2 − b 2 = (a − b)(a + b),
• a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ),
• a n − b n = (a − b) ∑ n−1
k=0 an−k−1 b k ,