Einführung in das mathematische Arbeiten - Mathe Online

12 2. UMFORMUNGEN, GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN
Es ist z.B. offensichtlich, dass die Argumente der Funktion h im folgenden Beispiel allesamt
Variable sein sollen, und dass h genau n Argumente benötigt.
h(x 1 , . . . , x n )
Vergleichen Sie das mit der viel unklareren Schreibweise
h(x, y, . . . , z)
Besonders in der linearen Algebra werden Indizes von Anfang an auftreten. Auch Doppel-
(A 12 , a kl , b i,j+1 ) und sogar Mehrfachindizes (r 12345 , p ijkm , Y i,i+1,...,i+n ) sind möglich und sinnvoll.
Folgender Rat:
Machen Sie sich immer klar, was welcher Index bedeutet. Falls Buchstaben
als Index auftreten, behalten sie immer im Auge, welche Werte der Index
annehmen kann.
Beispiel 2.1.1. Wir ordnen die Zahlen 1, 2, . . . , 20 in einer Matrix, also einem rechteckigen
Schema von Zahlen, wie folgt an. Dabei bezeichnen wir die Matrix mit A.
⎛
⎞
1 2 3 4 5
A = ⎜ 6 7 8 9 10
⎟
⎝11 12 13 14 15⎠
16 17 18 19 20
Mit Hilfe eines Doppelindex können wir die einzelnen Einträge der Matrix bezeichnen. Wir
haben z.B. A 23 = 8 und A 31 = 11. Wir können sogar die gesamte Matrix über ihre Elemente
mit Hilfe der Indizes definieren, indem wir schreiben
A ij = 5i + j − 5, i = 1 . . . 4, j = 1 . . . 5.
Ebenso wie Funktionsargumente sind auch Indizes ”
in Schachteln verpackt“. Daher gelten
vergleichbare Regeln für Umformungen. Zur Illustration seien wieder einige richtige und
einige falsche Beispiele angegeben.
A i+1+3·5,j = A i+16,j
f i − 1 ≠ f i−1
B s B s = B 2 s ≠ B s 2
B s
s ≠ B
1.5. Summen, Produkte — Zeichen. In der Mathematik untersucht man häufig
Summen, in denen die Anzahl der Terme nicht a priori fest steht. So hat etwa ein allgemeines
Polynom n–ten Grades die Form
p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + · · · + a n x n
mit n + 1 Termen, die aufsummiert werden. Um die Schreibweise von den Punkten (+ · · · +)
zu befreien, verwendet man eine allgemeinere Notation.
Zeichen wie das Summen- und das Produktzeichen, werden also dazu eingeführt, um eine
vielfache Verknüpfung ähnlicher Ausdücke vereinfacht darzustellen. So kann man mit Hilfe
des Summenzeichens Σ das Polynom im oberen Beispiel schreiben als
n∑
p(x) = a i x i . (2.2)
Genauer betrachtet besteht der allgemeine Summenausdruck mit dem Summenzeichen aus
vier verschiedenen Teilen.
• Es gibt es eine Laufvariable, den Summationsindex, in unserem Beispiel i.
i=0