1.3.5 Hauptsatz der Euklidischen <strong>Geometrie</strong> Theorem 1.11. Sind p 0 , . . . , p m und p ′ 0, . . . , p ′ m Punkte im R n mit d(p i , p j ) = d(p ′ i, p ′ j) für alle i, j (0 ≤ i < j ≤ m), so gibt es eine euklidische Transformation f : R n → R n , x ↦→ Ax + b, mit A ∈ O(n) und b ∈ R n , so dass f(p i ) = p ′ i für alle i gilt, 0 ≤ i ≤ m. Wenn die Punkte p i nicht alle auf einer Hyperebene liegen (was insbesondere m ≥ n erzwingt), dann ist diese euklidische Transformation eindeutig bestimmt. Beweis. Nach einer Verschiebung um den Vektor b := p ′ 0 − p 0 dürfen wir annehmen, dass p 0 = p ′ 0 = 0 ist. Nun wenden wir das Gram–Schmidt-Verfahren auf die Vektoren p 0 , . . . , p m an, und erhalten daraus eine Orthogonalbasis ̂p 0 , . . . , ̂p n . Achtung: wenn die Vektoren p i nicht linear unabhängig sind, können dabei einige Vektoren durchaus Null ergeben – diese werden dann nicht weiter berücksichtigt. Wenn die Vektoren nicht aufspannen, wird am Ende zu einer Orthogonalbasis ergänzt – in diesem Fall ist die Basis ̂p 0 , . . . , ̂p n nicht eindeutig durch die Folge p 0 , . . . , p m bestimmt. Genauso erzeugen wir mit dem Gram–Schmidt-Verfahren aus der Folge p ′ 0, . . . , p ′ m von Vektoren eine Orthogonalbasis ̂p 0 , . . . , ̂p n . Dabei läuft das Gram–Schmidt-Verfahren ganz analog ab, mit denselben Koeffizienten, weil nämlich die Koeffizienten aus Skalarprodukten zwischen den Vektoren entstehen, und diese (Polarisierung!) durch die Normen der Vektoren und ihrer Differenzen bestimmt sind, und diese Daten sind nach Annahme für die Folgen p 0 , . . . , p m und p ′ 0, . . . , p ′ m gleich. Nun definiert die Vorschrift f : ̂p j ↦→ ̂p ′ j eine orthogonale Abbildung f (weil sie eine ONB auf eine ONB abbildet). Die Tatsache, dass die ̂p j mit denselben Koeffizienten aus den p i gewonnen werden, wie die ̂p ′ j aus den p ′ i ergibt insbesondere, dass auch die p i mit denselben Koeffizienten aus den ̂p j dargestellt werden können wie die p ′ i aus den ̂p ′ j. Also bildet f auch p i auf p ′ i ab. In dem Fall, dass keine Basisergänzung nötig ist, die p i also den R n aufspannen, ist die Abbildung f sogar eindeutig. Korollar 1.12 (Kongruenzsatz “SSS”). Wenn zwei Dreiecke im R n gleiche Seitenlängen haben, dann sind sie kongruent. 1.3.6 Freiheitsgrade Bemerkung 1.13 ( Freiheitsgrade“ — Dimension der Gruppe der Kongruenztransformationen). ” Jede Kongruenztransformation bildet (0, e 1 , . . . , e n ) auf orthogonalen Rahmen ab. Für den ersten Punkt liegt das Bild beliebig im R n , der zweite liegt auf einer (n−1)-dimensionalen Sphäre, der nächste auf einer (n − 2)-Sphäre, usw. Daher ist die Anzahl der Freiheitsgrade“ insgesamt ” n + (n − 1) + · · · + 1 = 1 (n + 1)n. 2 Alternative Rechnung: wir müssen die Bilder von n + 1 Punkten festlegen, das sind (n + 1)n Variable, aber es gibt ( ) n+1 2 Bedingungen/paarweise Distanzen, also ist die Anzahl der Freiheitsgrade: (n + 1)n − ( ) n+1 2 = 1(n + 1)n. 2 Technisch (Analysis III): die Gruppe ist eine Lie-Gruppe, also insbesondere eine Mannigfaltigkeit der Dimension ( ) ( n 2 + n = n+1 ) 2 = 1n(n + 1). 2 10
Literatur [1] Martin Aigner and Günter M. Ziegler. Das BUCH der Beweise. Springer-Verlag, Heidelberg Berlin, third edition, 2009. [2] V. G. Boltianskii. Hilbert’s Third Problem. V. H. Winston & Sons (Halsted Press, John Wiley & Sons), Washington DC, 1978. [3] David Hilbert and Stephan Cohn-Vossen. Anschauliche <strong>Geometrie</strong>. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1932. Second edition 1996. English translation: Geometry and the Imagination, Chelsea Publ., 1952. [4] Jiří Matoušek. Lectures on Discrete Geometry, volume 212 of Graduate Texts in Math. Springer- Verlag, New York, 2002. [5] Oleg R. Musin. The kissing number in four dimensions. Annals of Mathematics, 168:1–32, 2008. [6] Florian Pfender and Günter M. Ziegler. Kissing numbers, sphere packings, and some unexpected proofs. Notices of the AMS, 51(8):873–883, September 2004. 11
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