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Mit dieser Konstruktion überprüft man 〈A ′ , A〉 > 0, 〈A ′ , B〉 = 0, 〈A ′ , C〉 = 0, 〈B ′ , A〉 = 0, 〈B ′ , B〉 > 0, 〈B ′ , C〉 = 0, 〈C ′ , A〉 = 0, 〈C ′ , B〉 = 0, 〈C ′ , C〉 > 0. Lemma 6.5. Im Dreieck △ = ABC sind die Kantenlängen (in der intrinsischen Metrik der Sphäre, vom Durchmesser π) gegeben durch und die äußeren Winkel durch cos a = 〈B, C〉, cos b = 〈C, A〉, cos c = 〈A, B〉 cos ̂α = 〈B ′ , C ′ 〉, cos ̂β = 〈C ′ , A ′ 〉, cos ̂γ = 〈A ′ , B ′ 〉, mit Innenwinkeln α = π − ̂α usw. Proposition 6.6. Zu jedem Dreieck △ = ABC gibt es das duale Dreieck △ ′ = A ′ B ′ C ′ so dass • das Duale des Dualen ist das Ausgangsdreieck: △ ′′ = △, • die Kantenlängen des Dreiecks sind die Außenwinkel des Dualen, und umgekehrt: a ′ = ̂α, usw. Ende 14.6.2011 Lemma 6.7 (Dreiecksungleichungen). Die Kantenlängen, Außenwinkel und Innenwinkel des sphärischen Dreiecks △ = ABC erfüllen a + b − c > 0 a − b + c > 0 − a + b + c > 0 a + b + c < 2π ̂α + ̂β − ̂γ > 0 ̂α − ̂β + ̂γ > 0 − ̂α + ̂β + ̂γ > 0 ̂α + ̂β + ̂γ < 2π α + β − γ < π α − β + γ < π − α + β + γ < π α + β + γ > π. Beweis. Die ersten drei Ungleichungen für die Seitenlängen folgen aus der Dreiecksungleichung für die Metrik auf der Sphäre. Die vierte folgt aus a+b+c = d(B, C)+d(C, A)+d(A, B) < d(B, C)+d(C, −B)+d(−B, A)+d(A, B) = π+π. Die Ungleichungen für die Außenwinkeln folgen daraus sofort nach Proposition 6.6, und damit auch die Ungleichungen für die Innenwinkel mit α = π − ̂α usw. Insbesondere wissen wir aus Lemma 6.7, dass in jedem sphärischen Dreieck die Winkelsumme α + β + γ größer ist als π Theorem 6.8. Die Fläche des Dreiecks △ = ABC mit Innenwinkeln α, β, γ ist α + β + γ − π. 42
−A C −∆ ∆ −C A Beweis. Die Zweiecke, die von den Innenwinkeln von △ und von denen des gegenüberliegenden Dreiecks −△ aufgespannt werden, überdecken die Sphäre S 2 ganz, dabei die Dreiecke △ und −△ dreifach, den Rest aber einfach. Also erhalten wir (2α + 2β + 2γ) + (2α + 2β + 2γ) = 4π + 2Vol(△) + 2Vol(△), also 4α + 4β + 4γ = 4π + 4Vol(△). Proposition 6.9. Seien a, b, c ∈ R. (i) Ein sphärisches Dreieck mit den Kantenlängen a, b, c existiert dann und nur dann, wenn die vier Dreiecksungleichungen a + b − c > 0 a − b + c > 0 − a + b + c > 0 a + b + c < 2π erfüllt sind. (ii) Wenn das Dreieck existiert, dann ist es eindeutig bis auf Kongruenztransformationen. Beweis. Wir dürfen A, B im Abstand c auf dem Äquator platzieren, und betrachten die Kreisscheiben K A und K B vom Radius b bzw. a um A bzw. B. 43
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