Geometrie

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

wenn die Schnittpunkte α = BC ∩ B ′ C ′ β = AC ∩ A ′ C ′ γ = AB ∩ A ′ B ′ der entsprechenden Seiten kollinear sind. Beweis. Für “⇐=”: Nach projektiver Transformation liegen α, β, γ auf der Geraden im Unendlichen. Also ist AB‖A ′ B ′ , AC‖A ′ C ′ und BC‖B ′ C ′ . Damit sind die Dreiecke ABC und A ′ B ′ C ′ ähnlich, ihr Zentrum kann durch Schnitt von Geraden ausgerechnet werden. Dabei verwendet man das “Lemma von Thales”, wonach parallele Geraden auf unterschiedlichen Geraden dieselben Teilungsverhältnisse induzieren — was man nachrechnen kann. Für “=⇒”: Dualität! Beobachtung: Arithmetik spielt eine entscheidende Rolle im Beweis. (In der Tat ist der Satz von Desargues für “synthetische” projektive Ebenen nicht richtig.) Es gibt einen 3D-Beweis für den Satz von Desargues – aber in der Tat lässt sich jede “synthetische” projektive Raum der Dimension n ≥ 3 über einem Schiefkörper koordinatisieren. Bemerkung 4.27. Vorsicht bei der Formulierung mit degenerierten Versionen! Vergleiche Richter-Gebert [4, Example 1.1] Bemerkung 4.28. Es gibt vielfältige Verallgemeinerungen: So kann man im Satz von Pappus die Vereinigung der beiden Geraden G ∪ G ′ durch einen beliebigen Kegelschnitt ersetzen! 4.6 Quadriken Theorem 4.29 (Projektive Hauptachsentransformation). Jede Quadrik im R n (mit Ausnahme der linearen Quadriken, also der Hyperebenen, sowie Q = ∅ und Q = R n ) lässt sich durch eine projektive Transformation auf eine Normalform der Form mit k + 1 ≥ l ≥ 1, k + l ≤ n bringen. In projektiven Koordinaten: 1 + x 2 1 + · · · + x 2 k − x 2 k+1 − · · · − x 2 k+l = 0, Q = {(x 0 : x 1 : · · · : x n ) ∈ RP n : x 2 0 + · · · + x 2 k − x 2 k+1 − · · · − x 2 k+l = 0} mit k + 1 ≥ l ≥ 1, k + l ≤ n. Beweis. Wir schreiben Q als ( ( ) c b Q = {x ∈ R n : (1, x t t 1 ) b A) x ( 1 = {x ∈ R n : (1, x t )Â x) für A ∈ R n×n symmetrisch, b ∈ R n , c ∈ R, bzw. Â ∈ R(n+1)×(n+1) symmetrisch. Weil Â symmetrisch ist, gibt es eine orthogonale Matrix Ŝ ∈ O(n + 1) so dass Ŝt ÂŜ diagonal ist, also gleich diag(λ 0 , λ 1 , . . . , λ k , −λ k+1 , . . . , −λ k+l , 0, . . . , 0) mit λ i > 0, und dann eine Diagonalmatrix ̂D ∈ R (n+1)×(n+1) mit Diagonaleinträgen 1/ √ λ i für 0 ≤ i ≤ k + l, so dass ̂DŜt ÂŜ ̂D = diag(1, . . . , 1, −1, . . . , −1, 0, . . . , 0). 36
Die Tatsache, dass bei dieser Koordinatentransformation k und l eindeutig bestimmt sind, folgert man aus Sylvester’scher Trägheitssatz [2, S. 186] [3, S. 362]: k + 1 ist nämlich die Dimension des größten Unterraums von R n+1 , auf dem die quadratische Form ̂x t Â̂x positiv definit ist, und genauso für l und negativ definit. Die Bedingung k + 1 ≥ l stellt man her, indem man ggf. Â durch −Â ersetzt. Literatur [1] Martin Aigner and Günter M. Ziegler. Das BUCH der Beweise. Springer-Verlag, Heidelberg Berlin, third edition, 2009. [2] Gerd Fischer. Analytische <strong>Geometrie</strong>. Vieweg, Wiesbaden, 2001. 7. Auflage. [3] Gerd Fischer. Lernbuch Lineare Algebra und Analytische <strong>Geometrie</strong>. Vieweg+Teubner, Wiesbaden, 2011. [4] Jürgen Richter-Gebert. Mechanical theorem proving in projective geometry. Annals of Mathematics and Artificial Intelligence, 13:139–172, 1995. 37
Seite 1 und 2: Geometrie https://www.mi.fu-berlin.
Seite 3 und 4: Geometrie — FU Berlin Sommersemes
Seite 5 und 6: 1.1.5 Winkel Den Winkel ∢(x, y) z
Seite 7 und 8: Mittelpunkte ±2e i setzen, die die
Seite 9 und 10: 1.3.3 Allgemeine Kongruenztransform
Seite 11 und 12: Literatur [1] Martin Aigner and Gü
Seite 13 und 14: 2.1.1 Hauptsatz der Affinen Geometr
Seite 15 und 16: Entsprechend höherdimensional: Bar
Seite 17 und 18: Die Bildpunkte dieser Transformatio
Seite 19 und 20: . . . hat vier Scheitelpunkte (±a,
Seite 21 und 22: y P −c −a 0 a c x −b Lemma 3.
Seite 23 und 24: Selbst ausprobieren: (Quelle/Siehe:
Seite 25 und 26: (1) orthogonale Transformationen (2
Seite 27 und 28: (1b) x2 1 + · · · + x2 k a 2 1 a
Seite 29 und 30: Dass man jede Quadrik auf eine dies
Seite 31 und 32: (4) dem Vektor in dem Unterraum mit
Seite 33 und 34: 4.4 Das Doppelverhältnis Definitio
Seite 35: 4.5.2 Dualität Theorem 4.24. Für
Seite 39 und 40: Gruppenaktion, die zeigt, wie der R
Seite 41 und 42: 6.2 Sphärische Dreiecke Sehr viel
Seite 43 und 44: −A C −∆ ∆ −C A Beweis. Di
Seite 45 und 46: Und schließlich berechnen wir das
Seite 47 und 48: [2] Dmitri Burago, Yuri Burago, and
Seite 49 und 50: • Die Abbildung ist für x = c ni
Seite 51 und 52: 7.3 Komplex-projektive Interpretati
Seite 53 und 54: Beweis. Die Sphäreninversion bilde
Seite 55 und 56: 〈x, x〉 = 1 〈x, x〉 = −1 (1
Seite 57 und 58: 8 Hyperbolische Geometrie Quelle/Re
Seite 59 und 60: Proposition 8.5. Der kürzeste (st
Seite 61 und 62: Theorem 8.11 (Dreiecksungleichungen
Seite 63 und 64: überträgt die n-dimensionale hype
Seite 65 und 66: 9 Perspektiven der Geometrie 9.1 Gr

Geometrie

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?