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Genauso bekommen wir die nichtlinearen Quadriken im R 3 als Typ r r ′ k l typische Gleichung Beschreibung (1a) 1 2 1 0 x 2 1 = 1 paralleles Ebenenpaar (1a) 2 3 2 0 x 2 1 + x 2 2 = 1 Zylinder über einer Ellipse (1a) 2 3 1 1 x 2 1 − x 2 2 = 1 Zylinder über einer Hyperbel (1a) 3 4 3 0 x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = 1 Ellipsoid (1a) 3 4 2 1 x 2 1 + x 2 2 − x 2 3 = 1 einschaliges Hyperboloid (1a) 3 4 1 2 x 2 1 − x 2 2 − x 2 3 = 1 zweischaliges Hyperboloid (1b) 1 1 1 0 x 2 1 = 0 Doppelebene (1b) 2 2 2 0 x 2 1 + x 2 2 = 0 Gerade (1b) 2 2 1 1 x 2 1 − x 2 2 = 0 Ebenenpaar mit Schnittgerade (1b) 3 3 3 0 x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = 0 Punkt (1b) 3 3 2 1 x 2 1 + x 2 2 − x 2 3 = 0 Kreiskegel (1b) 1 3 1 0 x 2 1 = 2x 2 Zylinder über einer Parabel (1b) 2 4 2 0 x 2 1 + x 2 2 = 2x 3 elliptisches Paraboloid (1b) 2 4 1 1 x 2 1 − x 2 2 = 2x 3 hyperbolisches Paraboloid Bemerkung 3.15. Die interessantesten Fälle sind offenbar die mit r ′ = n + 1; alle anderen Quadriken erhält man als Zylinder oder Kegel über niedrigdimensionaleren Quadriken. Bemerkung 3.16. Unter den Quadriken im R 3 mit r ′ = n + 1 (nichtlinear, nicht Zylinder oder Kegel (im Fall (1b))) sind • einschaliges Hyperboloid und • hyperbolisches Paraboloid Regelflächen, bei denen es durch jeden Punkt der Quadrik zwei Geraden gibt, die in der Quadrik verlaufen. Unter den Regelflächen wird insbesondere auf das einschalige Hyperboloid hingewiesen — siehe die “Mae West”-Skulptur in München [3]. 3.2.2 Affine Klassifikation der Quadriken Wenn wir nur auf Klassifikation der Quadriken bis auf affine Transformation interessiert sind, dann dürfen wir insbesondere Koordinatentransformationen der Form x i a i ↦→ x i durchführen, und bekommen damit aus dem euklidischen den affinen Normalformsatz: Theorem 3.17 (Affine Hauptachsentransformation). Jede nicht-lineare Quadrik im R n lässt sich durch eine affine Transformation auf eine der folgenden drei Typen von Normalformen bringen, für k ≥ 1, l ≥ 0, k + l ≤ n: (1a) x 2 1 + · · · + x 2 k − x2 1 − · · · − x 2 k+l = 1, (1b) x 2 1 + · · · + x 2 k − x2 1 − · · · − x 2 k+l = 0 mit k ≥ l, (2) x 2 1 + · · · + x 2 k − x2 1 − · · · − x 2 k+l = 2x k+l+1 mit k + l < n. 28
Dass man jede Quadrik auf eine dieser Normalformen transformieren kann, folgt aus dem euklidischen Fall mit einer zusätzlichen Substitution x i a i ↦→ x i . Quadriken mit diesen Normalformen sind alle unterschiedlich sind und nicht durch affine Transformationen ineinander transformierbar — wieder mit den offensichtlichen“ Ausnahmen, bei ” den linearen Quadriken. Um das zu beweisen, argumentiert man wieder entweder geometrisch, oder algebraisch. Literatur [1] David A. Brannan, Matthew F. Esplen, and Jeremy J. Gray. Geometry. Cambridge University Press, Cambridge, 1999. [2] Albrecht Dürer. Unterweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtscheydt. Nürnberg, 1525 (English translation with commentary by W. L. Strauss: “The Painter’s Manual: Instructions for Measuring with Compass and Ruler”, New York 1977); http://de.wikisource.org/ wiki/Underweysung_der_Messung,_mit_dem_Zirckel_und_Richtscheyt, _in_Linien,_Ebenen_unnd_gantzen_corporen/Erstes_Buch. [3] Günter M. Ziegler. Mathematik im Alltag: Der Name der Rose. Mitteilungen der DMV, 19(1):42–44, 2011. 29
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