Geometrie

Die Bildpunkte dieser Transformation müssen also die Gleichung des Kreiskegels erfüllen:
x 2 + (cos ϕ y − sin ϕ c) 2 = (sin ϕ y + cos ϕ c) 2 .
Vereinfachung dieser Gleichung, unter Verwendung von cos 2 ϕ−sin 2 ϕ = cos 2ϕ und 2 cos ϕ sin ϕ =
cos 2ϕ ergibt
x 2 + (cos 2ϕ)y 2 − 2c sin 2ϕ y = (cos 2ϕ)c 2
Fall 1. Für ϕ = π /4, also cos 2ϕ = 0 und sin 2ϕ = 1 ergibt dies
x 2 − 2c y = 0
also für c > 0 eine Parabel y = 1 2c x2 , und für c = 0 eine Gerade (genauer eine Doppelgerade)
x 2 = 0.
Nehmen wir also jetzt ϕ ≠ π /4 an, so können wir durch cos 2ϕ teilen und quadratisch ergänzen,
und erhalten
x 2
cos 2ϕ + (y − 2c tan 2ϕ)2 = (1 + tan 2 2ϕ)c 2 .
Wenn wir jetzt y − 2c tan 2φ einfach durch y ersetzen, so entspricht das einer Translation, also
einer Isometrie, und wir erhalten
x 2
cos 2ϕ + y2 =
c2
cos 2 2ϕ .
Fall 2. Für 0 ≤ ϕ < π /4 ist cos 2ϕ > 0, dann ist das für c > 0 die Gleichung einer Ellipse, die
man mit a 2 cos 2ϕ
:= und b 2 := cos2 2ϕ
auf die Normalform
c 2
c 2
x 2
a 2 + y2
b 2 = 1 mit a, b > 0
bringen kann; für c = 0 erhält man entsprechend mit a 2 := cos 2ϕ und b 2 := cos 2 2ϕ
x 2
a 2 + y2
b 2 = 0 mit a, b > 0
also den Punkt (0, 0).
Fall 3. Für π /4 < ϕ ≤ π /2 ist cos 2ϕ < 0, dann ist das für c > 0 die Gleichung einer Hyperbel,
die man mit a 2 cos 2ϕ
:= − und b 2 := cos2 2ϕ
auf die Normalform
c 2
c 2
− x2
a 2 + y2
b 2 = 1 mit a, b > 0
bringen kann; für c = 0 erhält man entsprechend mit a 2 := −cos 2ϕ und b 2 := cos 2 2ϕ
− x2
a 2 + y2
b 2 = 0 mit a, b > 0
also zwei sich schneidende Geraden bx = ±ay.
Damit haben wir im Wesentlichen den folgenden Satz bewiesen — dessen Zusatz man auch
leicht verifiziert.
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