Geometrie

Geometrie — FU Berlin
Sommersemester 2011 — Skript, Version: 26. August 2011 — Günter M. Ziegler
1 Euklidische Geometrie
1.1 Der R n mit einem Skalarprodukt
1.1.1 Lineare und affine Unterräume
Modell: R n reeller Vektorraum mit Koordinatensystem
Untervektorräume U ⊆ R n der Dimension dim U, mit 0 ≤ dim U ≤ n.
“Innere Beschreibung”:
U = span{v 1 , . . . , v r } = {λ 1 v 1 + · · · + λ r v r : λ 1 , . . . , λ r ∈ R}, mit r ≥ dim U.
Hier gilt r = dim U wenn {v 1 , . . . , v r } eine Basis ist. Jede (geordnete) Basis liefert uns Koordinaten
für U.
“Äußere Beschreibung”: durch ein homogenes lineares Gleichungssystem
U = {x ∈ R n : Ax = 0}, mit A ∈ R m×n , m ≥ n − dim U.
Hier hat A den Rang n − dim U, und es gilt m = n − dim U wenn die Zeilen von A linear
unabhängig sind.
Affine Unterräume U ⊆ R n der Dimension dim U, mit −1 ≤ dim U ≤ n, sind die Lösungsmengen
von linearen Gleichungssystemen, wobei ∅ als affiner Unterraum der Dimension −1
betrachtet wird.
“Äußere Beschreibung”: U = {x ∈ R n : Ax = b}, mit A ∈ R m×n , m ≥ n − dim U, b ∈ R n
durch ein lineares Gleichungssystem. Wenn b nicht im Spaltenraum von A liegt, dann ergibt dies
U = ∅. Ansonsten ist b ein Punkt in U, A hat den Rang n − dim U, und es gilt m = n − dim U
wenn die Zeilen von A linear unabhängig sind.
“Innere Beschreibung”: U = b + span{v 1 , . . . , v r }, mit r ≥ dim U. Hier gilt r = dim U wenn
{v 1 , . . . , v r } eine Basis ist. Jeder Basispunkt mit einer (geordneten) Basis liefert uns Koordinaten
für U.
Symmetrischere Alternative: baryzentrische Koordinaten
U = {µ 0 u 0 + · · · + µ r u r : µ 0 , . . . , µ r ∈ R, µ 0 + · · · + µ r = 1},
wobei u 0 , . . . , u r affin erzeugen — zum Beispiel b, b + v 1 , . . . , b + v r .
Unter anderem haben wir als affine Unterräume: Punkte, Geraden, Ebenen (Dimension 2), . . . ,
Hyperebenen (Dimension n − 1). Ein affiner Unterraum hat keinen natürlichen Basispunkt.
1.1.2 Abstände
Standard-Skalarprodukt: 〈x, y〉 := ∑ n
i=1 x iy i .
Norm |x| := √ 〈x, x〉: Längenmessung
Metrik d(x, y) := |x − y| = √ ∑ n
i=1 (x i − y i ) 2 : Abstand zwischen den durch x, y bestimmten
Punkten
3