Geometrie

4.4 Das Doppelverhältnis
Definition 4.13 (Doppelverhältnis). Seien a, b, c, d ∈ RP n vier Punkte im RP n , die auf einer
Geraden liegen, mit a ≠ b.
Dann können wir ĉ = αâ + βˆb, ˆd = γâ + δˆb schreiben.
Das Doppelverhältnis ist dann
[a, b; c, d] = β/α
δ/γ
= βγ
αδ ∈ R ∪ {∞}.
Das Doppelverhältnis [a, b; c, d] ist
= ∞ für d = a
= 0 für d = b
= 1 für d = c
Lemma 4.14. Das Doppelverhältnis ist wohl-definiert.
Beweis. Für den Beweis wählen wir â, ˆb, ĉ, ˆd ∈ R n+1 \ {0}, und beobachten, dass sich das
Doppelverhältnis nicht verändert, wenn wir die Vektoren â, ˆb, ĉ, ˆd durch Vielfache ersetzen.
Affine Teilungsverhältnisse sind Doppelverhältnisse: Liegen b, c, d auf einer affinen Geraden, a
“im Unendlichen” auf der Geraden, mit ˆd = (1 − λ)ĉ + λˆb, so können wir â = ĉ − ˆb setzen,
also ĉ = â + ˆb und ˆd = λâ + ˆb, und das ergibt [a, b; c, d] = λ.
Kurz also: [∞, b; c, (1 − λ)c + λb] = λ.
Bemerkung 4.15. Wir können das Doppelverhältnis immer dann definieren, wenn die vier Punkte
a, b, c, d kollinear sind, und mindestens drei von ihnen verschieden. Falls a = b ist, setzen wir
dafür [a, b; c, d] = [c, d; a, b].
Theorem 4.16 (Invarianten). Projektive Transformationen erhalten Doppelverhältnisse. Sind
also unter a, b, c, d ∈ RP m mindestens drei verschiedene Punkte, und ist f : RP m → RP n , so
gilt
[a, b; c, d] = [f(a), f(b); f(c), f(d)].
Beweis. Wir stellen a, b, c, d dar durch â, ˆb, ĉ, ˆd ∈ R m+1 , und f durch A ∈ R (n+1)×(m+1) . Gilt
ĉ = αâ + βˆb, ˆd = γâ + δˆb, so folgt Aĉ = αAâ + βAˆb, A ˆd = γAâ + δAˆb, und damit ergeben
f(a), f(b), f(c), f(d) dieselben Parameter α, β, γ, δ und damit auch dasselbe Doppelverhältnis.
Im Fall a = b argumentiert man separat.
Proposition 4.17. Seien a, b, c, d ∈ R n mit [a, b; c, d] = λ. Dann gilt
(1) [a, b; c, d] = [b, a; d, c] = [c, d; a, b] = [d, c; b, a] = λ,
(2) [a, b; d, c] = 1 , [b, a; c, d] = 1/λ,
λ
(3) [a, c; b, d] = 1 − λ
(4) und damit sind alle anderen Werte des Doppelverhältnisses einer Permutation der vier
Punkte festgelegt; dabei können nur 6 verschiedene Werte auftreten, nämlich λ, 1 , 1 − λ,
λ
1 − 1 , 1
und λ . λ 1−λ λ−1
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