Geometrie

9 Perspektiven der Geometrie
9.1 Gruppentheorie
Nach Felix Klein: die Gruppe bestimmt die Geometrie
Bespiel: Euklidische Geometrie der Ebene: Die Elemente der Ordnung 2 sind genau die Geradenspiegelungen
und die Punktspiegelungen – wobei die Punktspiegelungen die Elemente sind,
die selbst Quadrate sind. Also kann man die Punkte und die Geraden der Ebene eindeutig mit
Gruppenelementen identifizieren.
Analog kann man versuchen, die Gruppen von bekannten Geometrien auch algebraisch zu verstehen,
und auch interessante Gruppen geometrisch zu interpretieren. Dies bietet sich bei Liegruppen
an (die glatte Mannigfaltigkeiten sind; benannt nach Sophus Lie), wird aber zum Beispiel
auch für endliche Gruppen/Geometrien studiert.
9.2 Differenzialgeometrie
Geschlossene Flächen (technisch: orientierbare, zusammenhängende, kompakte 2-dimensionale
Mannigfaltigkeiten ohne Rand) kann man klassifizieren — und dann beweisen, dass jede solche
Mannigfaltigkeit eine Metrik kompakter Krümmung hat, also vollständig als Raum mit
konstanter Krümmung modelliert werden kann: die Sphäre S 2 als Raum positiver Krümmung 1
und sphärischer Geometrie, der Torus (S 1 ) 2 als flacher Raum von konstanter Krümmung 0 und
euklischer Geometrie, sowie die Flächen vom Geschlecht g > 1 als Räume konstanter negativer
Krümmung mit hyperbolsicher Geometrie. Diese Diskussion ist klassisch, man kennt sie in der
Funktionentheorie als Uniformisierung, ein wesentlicher Schritt ist von Paul Koebe.
Für geschlossene Mannigfaltigkeiten der Dimension 3 sind erst mit dem Beweis der Geometrisierungsvermutung
von William Thurston in diesem Jahrtausend durch Grigrij Perelman ein
entsprechendes Resultat: es besagt grob, dass man jede Mannigfaltigkeit aufschneiden kann
in Teile, die wiederum mit “Modellgeometrien” versehen werden können — dazu gehören die
sphärische, flache und hyperbolische Geometrie wie auch einige andere. Achtung: Sehr schwierig.
9.3 Konforme Abbildungen
Kreispackungen in der Ebene sind ein nur scheinbar elementares Thema, das das Studium lohnt.
So kann der Riemannsche Abbildungssatz aus der Funktionentheorie (“jedes einfachzusammenhängende
Gebiet in der komplexen Ebene kann mit einer komplex-differenzierbaren, also
konformen, Abbildung auf eine Kreisscheibe abgebildet werden”) bewiesen werden, indem man
erst den Kreispackungssatz beweist, und diesen dann für Approximationen nutzt.
Die Theorie der ebenen Kreispackungen ist also sehr reichhaltig, während Kugelpackungen im
Höherdimensionalen viel weniger verstanden sind. Es gibt höherdimensional eben auch keine
lokal-konformen Abbildungen, die nicht global konform wären — also nur die Möbiustransformationen.
Referenz: Stephenson [2]
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