Geometrie

Hier sind also die ersten k ≥ 0 Spalten von S orthonormale Eigenvektoren zu positiven Eigenwerten
von A, die nächsten l ≥ 0 Spalten von S sind orthonormale Eigenvektoren zu negativen
Eigenwerten von A, und die letzten n−k −l ≥ 0 Spalten von S sind eine Orthonormalbasis für
den Eigenraum zum Eigenwert 0, also zum Kern von A. Dabei dürfen wir im Fall, dass das mehr
als eine Spalte ist, also für n − k − l ≥ 2, annehmen, alle diese Spalten außer möglicherweise
der ersten, senkrecht auf b stehen, dass also die letzten n − k − l − 1 Koordinaten von ¯b = S t b
verschwinden.
Damit liegt das Polynom q(x) jetzt in der Form
q(x) = λ 1 x 2 1 + · · · + λ k+l x k+l 2 + 2¯b 1 x 1 + · · · + 2¯b k+l+1 x k+l+1
vor. Dieses kann man nun durch eine quadratische Ergänzung vereinfachen, oder — äquivalent
dazu (!) — durch eine geeignete Translation.
(2) Translation. Eine Translation x ↦→ x + u (also eine affine Abbildung) lässt sich in den “homogenen”
Koordinaten (mit zusätzlicher Koordinate x 0 = 1) als lineare Abbildung darstellen:
( ( ) ( ( )
1 1 1 0
t 1
↦→ =
.
x)
u + x u E)
x
wobei E die Einheitsmatrix darstellt (hier: E ∈ R n×n ). Die Inverse der Translation um u ist die
Translation um −u. Daher faktorisieren wir weiter q(x) als
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(1, x t 1 0 1 −u
t 1 u
t 1 0 c b
t 1 0 1 0
t 1 0
t 1 0 1
)
0 S 0 E 0 E 0 S t b A 0 S u E −u E 0 S −1 x
(
= (1, ¯x t c +
) 2¯bt u + u t Λu ¯b t + u t ) ( )
Λ
¯b + Λu Λ
1¯x
mit ¯x = S −1 x − u.
Nun setzen wir
und
( ) c b
r ′ t
:= rank
b A
r := rank A = rank Λ = k + l
( ) ( c ¯bt c +
= rank = rank 2¯bt u + u t Λu ¯b )
t + u t Λ
.
¯b Λ ¯b + Λu Λ
Dabei ist offenbar 0 ≤ r ≤ r ′ ≤ r + 2, r ≤ n und r ′ ≤ n + 1.
Fall 1: Liegt ¯b im Spaltenraum von A, also rank(¯b Λ) = rank(Λ) = k + l, so gibt es ein u mit
¯b + Λu = 0 (nämlich u := −Λ ∗¯b, wobei Λ ∗ die Diagonaleinträge λ i −1 hat), und wir berechnen
c + 2¯b t u ∗ u t Λu = c −¯b t Λ ∗¯b =: ¯c. In diesem Fall ist r ′ = r wenn ¯c = 0 ist, und sonst r ′ = r + 1.
Fall 2: Liegt ¯b nicht im Spaltenraum von A, so hat q(x) also einen linearen Term, und wir
können c durch eine weitere Translation wegtransformieren.
Insgesamt ergibt das den folgenden Normalformsatz:
Theorem 3.14 (Euklidische Hauptachsentransformation). Jede Quadrik im R n (mit Ausnahme
der linearen Quadriken, also der Hyperebenen, sowie Q = ∅ und Q = R n ) lässt sich durch
eine Isometrie auf eine der folgenden drei Typen von Normalformen bringen, für k ≥ 1, l ≥ 0,
k + l ≤ n, und 0 < a 1 ≤ · · · ≤ a k , a k+1 ≥ · · · ≥ a k+l > 0:
(1a) x2 1
a 2 1
+ · · · + x2 k
a 2 k
− x2 k+1
a 2 k+1
− · · · − x2 k+l
a 2 k
= 1,
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