Geometrie

wenn die Schnittpunkte α = BC ∩ B ′ C ′ β = AC ∩ A ′ C ′ γ = AB ∩ A ′ B ′ der entsprechenden
Seiten kollinear sind.
Beweis. Für “⇐=”: Nach projektiver Transformation liegen α, β, γ auf der Geraden im Unendlichen.
Also ist AB‖A ′ B ′ , AC‖A ′ C ′ und BC‖B ′ C ′ . Damit sind die Dreiecke ABC und
A ′ B ′ C ′ ähnlich, ihr Zentrum kann durch Schnitt von Geraden ausgerechnet werden.
Dabei verwendet man das “Lemma von Thales”, wonach parallele Geraden auf unterschiedlichen
Geraden dieselben Teilungsverhältnisse induzieren — was man nachrechnen kann.
Für “=⇒”: Dualität!
Beobachtung: Arithmetik spielt eine entscheidende Rolle im Beweis. (In der Tat ist der Satz
von Desargues für “synthetische” projektive Ebenen nicht richtig.) Es gibt einen 3D-Beweis für
den Satz von Desargues – aber in der Tat lässt sich jede “synthetische” projektive Raum der
Dimension n ≥ 3 über einem Schiefkörper koordinatisieren.
Bemerkung 4.27. Vorsicht bei der Formulierung mit degenerierten Versionen!
Vergleiche Richter-Gebert [4, Example 1.1]
Bemerkung 4.28. Es gibt vielfältige Verallgemeinerungen: So kann man im Satz von Pappus
die Vereinigung der beiden Geraden G ∪ G ′ durch einen beliebigen Kegelschnitt ersetzen!
4.6 Quadriken
Theorem 4.29 (Projektive Hauptachsentransformation). Jede Quadrik im R n (mit Ausnahme
der linearen Quadriken, also der Hyperebenen, sowie Q = ∅ und Q = R n ) lässt sich durch eine
projektive Transformation auf eine Normalform der Form
mit k + 1 ≥ l ≥ 1, k + l ≤ n bringen.
In projektiven Koordinaten:
1 + x 2 1 + · · · + x 2 k − x 2 k+1 − · · · − x 2 k+l = 0,
Q = {(x 0 : x 1 : · · · : x n ) ∈ RP n : x 2 0 + · · · + x 2 k − x 2 k+1 − · · · − x 2 k+l = 0}
mit k + 1 ≥ l ≥ 1, k + l ≤ n.
Beweis. Wir schreiben Q als
( ( ) c b
Q = {x ∈ R n : (1, x t t 1
)
b A)
x
( 1
= {x ∈ R n : (1, x t )Â
x)
für A ∈ R n×n symmetrisch, b ∈ R n , c ∈ R, bzw. Â ∈ R(n+1)×(n+1) symmetrisch.
Weil  symmetrisch ist, gibt es eine orthogonale Matrix Ŝ ∈ O(n + 1) so dass Ŝt ÂŜ diagonal
ist, also gleich diag(λ 0 , λ 1 , . . . , λ k , −λ k+1 , . . . , −λ k+l , 0, . . . , 0) mit λ i > 0, und dann eine
Diagonalmatrix ̂D ∈ R (n+1)×(n+1) mit Diagonaleinträgen 1/ √ λ i für 0 ≤ i ≤ k + l, so dass
̂DŜt ÂŜ ̂D = diag(1, . . . , 1, −1, . . . , −1, 0, . . . , 0).
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