Geometrie

3.2 Quadriken
Definition 3.12. Eine Quadrik ist die Lösungsmenge Q ⊂ R n eines Polynoms vom Grad
höchstens 2 in n Variablen.
Man spricht dabei von quadratischen Gleichungen, und Q wird auch als Nullstellenmenge der
Gleichung q(x 1 , . . . , x n ) ∈ R[x 1 , . . . , x n ] bezeichnet.
Prinzipiell lässt die obige Definition auch Polynome vom Grad höchstens 1 zu, also lineare
Polynome. Dieser Fall ist nicht besonders interessant: dann ist Q entweder leer, oder eine Hyperebene
im R n , oder der gesamte R n . Wir lassen diese drei ”
trivialen“ Fälle als Quadriken in
der Definition zu, ignorieren sie im Folgenden aber meist.
If Fall n = 1 ist Q also die Lösung einer quadratischen Gleichung, also besteht Q aus ein oder
aus zwei Punkten oder ist leer (oder ist ganz R).
Für n = 2 können wir die quadratische Gleichung wie folgt schreiben:
Q = {(x, y) ∈ R 2 : ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0} für a, b, c, d, e, f ∈ R.
Wenn (a, b, c) = (0, 0, 0), so erhalten wir eine lineare Gleichung, die Lösungsmenge ist dann
Gerade oder leer oder der R 2 . Diesen Fall könnten wir also ausschließen . . .
Bessere Notation, mehrere Möglichkeiten:
Q =
=
{ ( x 1
x 2
)
{ ( x 1
x 2
)
}
∈ R 2 : a 11 x 2 1 + 2a 12 x 1 x 2 + a 22 x 2 2 + 2a 01 x 1 + 2a 02 x 2 + a 00 = 0
⎛
⎞ ⎛ ⎞
a 00 a 01 a 02 1
∈ R 2 : (1, x 1 , x 2 ) ⎝a 10 a 11 a 12
⎠ ⎝x 1
⎠ }
a 20 a 21 a 22 x 2
für a ij ∈ R 2 (0 ≤ i, j ≤ 2).
Entsprechend können wir n-dimensionale Quadriken wie folgt schreiben:
∑
Q = {x ∈ R n : a ij x i x j = 0, mit x 0 := 0}
0≤i,j≤n
( ) ( )
= {x ∈ R n : (1, x t t a00 a
)
0 1
a 0 A x
( ( ) c b
= {x ∈ R n : (1, x t t 1
)
b A)
x
= {x ∈ R n : x t Ax + 2b t x + c = 0}
für A ∈ R n×n symmetrisch, a 0 ∈ R n , a 00 ∈ R
bzw. A ∈ R n×n symmetrisch, b ∈ R n , c ∈ R.
3.2.1 Euklidische Klassifikation der Quadriken
Im Folgenden werden Koordinatentransformationen angewandt, um die Quadriken auf besonders
einfache, und eindeutig bestimmte, Gleichungen zu bringen, also auf ”
Normalform“. Dabei
wenden wir in dieser Reihenfolge an:
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