Geometrie

Lemma 3.4 (Tangentengleichung). Die Tangente an die Ellipse x2
a 2
(x 0 , y 0 ) ist gegeben durch
xx 0
a + yy 0
2 b = 1. 2
+ y2
b 2 = 1 im Punkt P =
Beweis. Leicht und elegant rechnet man nach, dass das wirklich eine Gerade ist, auf der P liegt,
und dass P der einzige Schnittpunkt in T ∩ Q ist.
Zwei ”
affine“ Sätze über Ellipsen:
Proposition 3.5. [1, Sect. 2.2.3] Die Mittelpunkte der Schnitte einer Ellipse mit einer Parallelenschar
liegen auf einem Durchmesser.
Proposition 3.6. [1, Sect. 2.2.3] Zu jedem Durchmesser l einer Ellipse gibt es einen anderen
Durchmesser l ′ so dass:
• Die Mittelpunkte der Sehnen, die zu l parallel sind, liegen auf l ′ ,
• die Mittelpunkte der Sehnen, die zu l ′ parallel sind, liegen auf l.
2. Hyperbel. Q = { x2 − y2
= 1}, mit a, b > 0
a 2 b 2
. . . ist affines Bild der Standardhyperbel xy = 1,
. . . hat zwei aufeinander senkrecht stehende Symmetrieachsen, x = 0 bzw. y = 0, die Hauptachsen,
. . . hat zwei Scheitelpunkte (±a, 0) auf den Hauptachsen,
. . . hat Brennpunkte F = (c, 0) und F ′ = (−c, 0), für c := √ a 2 + b 2 ,
. . . hat zwei Asymptoten, die durch x2
a 2
sich die Hyperbeläste annähern,
− y2
b 2
= 0 gegeben sind, also bx ± ay = 0, und denen
. . . Konstruktion der Brennpunkte mit dem Zirkel! (Verwende Kreise mit Mittelpunkt (±a, 0)
durch (0, ±b))
Proposition 3.7 (Zwei Charakterisierungen der Brennpunkte).
• [“Gärtner-Konstruktion”] Für alle Punkte P = (x 0 , y 0 ) auf der Hyperbel gilt
|d(F, P ) − d(P, F ′ )| = 2a.
• [Reflexionseigenschaft] Lichtstrahlen, die auf einen Brennpunkt zielen, aber in der Hyperbel
reflektiert werden, zielen dann auf den anderen Brennpunkt; das heißt, die Strecken
F P und F ′ P haben denselben Winkel zur Tangente an die Hyperbel in P .
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