Geometrie

(4) dem Vektor in dem Unterraum mit x 0 -Koordinate 1, bzw. sonst einer Richtung (d.h. einem
Element von RP n−1 ).
Lemma 4.3. Zwei verschiedene Geraden G 1 , G 2 ⊂ RP 2 schneiden sich in genau einem Punkt.
Proposition 4.4 (Plücker-Koordinaten). Sei U ein k-dimensionaler linearer Unterraum U ⊆
R n . Sei A ∈ R n×k eine Matrix, deren Spalten eine Basis von U bilden. Der Plücker-Vektor von
A ist der Vektor x A ∈ R (n k) der k × k-Unterdeterminanten von A. Dieser ist bis auf Vielfache
eindeutig bestimmt, ergibt also einen eindeutigen Punkt im RP (n k)−1 . Dieser Punkt bestimmt
den linearen Unterraum eindeutig (wobei nicht jeder Punkt in RP (n k)−1 einen Unterraum entspricht).
Beweis. Die Matrix A ist bis auf invertierbare Spaltenoperationen eindeutig bestimmt. Also ist
der Vektor der Unterdeterminanten bis auf ein gemeinsames Vielfaches eindeutig bestimmt.
Die Rekonstruktion des Unterraums aus dem gegebenen Plücker-Vektor überlegt man sich am
Beispiel.
4.3 Projektive Transformationen
Definition 4.5 (Projektive Transformationen; Projektivitäten). Eine Abbildung f : RP m →
RP n heißt projektiv, wenn sie durch eine lineare Abbildung ˆf : R m+1 → R n+1 , x ↦→ Ax
induziert wird, für A ∈ R (n+1)×(m+1) . (Insbesondere muss dann x ↦→ Ax injektiv sein, A also
vollen Rang m haben, insbesondere also m ≤ n gelten.)
Eine Projektivität ist eine projektive Abbildung f : RP n → RP n . (Projektivitäten sind also die
bijektiven projektiven Abbildungen.)
Lemma 4.6. Die projektiven Transformationen RP n → RP n eingeschränkt auf R n ⊂ RP n
sind genau die gebrochen-linearen“ Transformationen x ↦→ Ax+b für nichtsinguläre Matrix
( ) ” c t x+δ
δ c
t
.
b A
Beachte: die gebrochen-lineare Abbildung ist für c ≠ 0 nur außerhalb der Hyperebene H :=
{x : c t + δ = 0} definiert. Interpretation: diese bildet H ”
nach Unendlich“ ab.
Beweis. ( 1
x)
↦−→
( δ c
t
b A) ( 1
x
)
=
( ) c t x + δ
Ax + b
∼
( ) 1
Ax+b .
c t x+δ
Proposition 4.7 (Invarianten). Projektive Transformationen
(i) bilden projektive Unterräume auf projektive Unterräume (derselben Dimension!) ab,
(ii) bilden Quadriken auf Quadriken ab.
Definition 4.8 (Projektive Basis). Eine projektive Basis des RP n besteht aus n + 2 Punkten
p 0 , p 1 , . . . , p n+1 , von denen keine n + 1 auf einer Hyperebene (also in einem Unterraum der
Dimension n − 1) liegen.
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