Geometrie

Proposition 8.5. Der kürzeste (stückweise-differenzierbare) Weg zwischen zwei Punkten in H n
liegt auf der Geraden.
Beweis. Das wird hier nicht bewiesen (dafür vergleicht man den Fortschritt des Weges γ(s) mit
der Funktion der linearen Abstände d(x, γ(0)) = arcosh(−〈x, γ(0)), und verwendet Cauchy-
Schwartz sowie 〈γ(s), γ ′ (s)〉 = 0.)
Damit ist aber insgesamt die Abstandsfunktion auf H n durch
− cosh d(x, y) = 〈x, y〉.
gegeben, und die hyperbolischen Transformationen erhalten Abstände.
Beispiel 8.6 (2-dimensionaler hyperbolischer Raum). Für n = 2 erhalten wir H 2 ⊂ R 2,1 als
obere Schale des zweischaligen Hyperboloids.
x 3
H 2
R 2
Jede Gerade l ⊂ H 2 lässt sich darstellen als l = H 2 ∩ U für U = {x ∈ R 2,1 : 〈x, n〉 = 0} mit
n ∈ R 2,1 raumartig und normiert, 〈n, n〉 = 1.
Proposition 8.7. Seien n 1 ≠ ±n 2 raumartig, 〈n i , n i 〉 = 1, sowie l 1 , l 2 die zugehörigen Geraden.
Dann sind äquivalent:
(i) l 1 ∩ l 2 ≠ ∅,
(ii) Das Skalarprodukt 〈·, ·〉 eingeschränkt auf spann{n 1 , n 2 } ist positiv definit,
(iii) |〈n 1 , n 2 〉| < 1.
Beweis. (i)⇒(ii): Für den Schnittpunkt x gilt {x} ⊥ = spann{n 1 , n 2 }. Alle Vektoren, die auf x
senkrecht stehen, sind raumartig.
(ii)⇒(i): spann{n 1 , n 2 } ⊥ ist eindimensional, und wird von einem zeitartigen Vektor aufgespannt.
(ii)⇒(iii): Wir stellen das Skalarprodukt eingeschränkt auf spann{n 1 , n 2 } ⊥ durch die Matrix
M =
( 〈n1 , n 1 〉
)
〈n 1 , n 2 〉
〈n 2 , n 1 〉 〈n 2 , n 2 〉
=
( 1
) 〈n1 , n 2 〉
〈n 2 , n 1 〉 1
dar. Das Skalarprodukt ist positiv definit, wenn die Matrix positiv definit ist, und dafür muss die
Determinante positiv sein, also 1 − 〈n 1 , n 2 〉 2 > 0.
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