Geometrie

2.1.1 Hauptsatz der Affinen Geometrie
Definition 2.6 (affin unabhängig, affine Basis). Punkte p 0 , . . . , p k ∈ R n heißen affin unabhängig,
wenn es keine nichttriviale affine Abhängigkeit λ 0 p 0 + · · · + λ k p k = 0, λ 0 + · · · + λ k = 0 gibt;
äquivalent, wenn es für jeden der Punkte eine affine Hyperebene gibt, die den Punkt nicht enhält,
alle anderen aber schon.
Jede maximale Menge von affin unabhängigen Punkten bildet eine affine Basis. (Eine affine
Basis ist also einfach eine Menge von n + 1 affin unabhängigen Punkten.)
k + 1 affin unabhängige Punkte bilden die Ecken eines k-dimensionalen Simplex (Punkt für
k = 0, Strecke für k = 1, Dreieck für k = 2, Tetraeder für k = 3).
Definition 2.7 (Affiner Spann, affine Hülle). Für p 0 , . . . , p k ∈ R n heißt
aff(p 0 , . . . , p k ) := {λ 0 p 0 + · · · + λ k p k : λ 0 + · · · + λ k = 1}
der affine Spann oder die affine Hülle von p 0 , . . . , p k .
Lemma 2.8 (Baryzentrische Koordinaten). Sind p 0 , . . . , p k ∈ R n affin unabhängig, so hat jeder
Punkt x ∈ aff(p 0 , . . . , p k ) eine eindeutige Darstellung in der Form x = λ 0 p 0 + · · · + λ k p k mit
λ 0 + · · · + λ k = 1.
Die Koeffizienten λ 0 , . . . , λ k heißen dann die baryzentrischen Koordinaten von x. Insbesondere
heißt der Punkt x 0 = 1 (p k+1 0 + · · · + p k ) das Baryzentrum oder der Schwerpunkt der Punkte
p 0 , . . . , p k .
Theorem 2.9 (Hauptsatz der Affinen Geometrie). Seien p 0 , . . . , p m und p ′ 0, . . . , p ′ m zwei Folgen
von Punkten im R n . Dann gibt es eine Affinität f : R n → R n , x ↦→ Ax + b, mit A ∈ GL(n) und
b ∈ R n mit f(p i ) = p ′ i, 0 ≤ i ≤ k, dann und nur dann, wenn zwischen den Punkten p i bzw. p ′ i
dieselben affinen Abhängigkeiten (mit denselben Koeffizienten) bestehen.
Die Abbildung existiert also insbesondere, wenn die Punktfolgen p 0 , . . . , p m und p ′ 0, . . . , p ′ m
affin unabhängig sind. Wenn die Punktfolgen affine Basen sind (also insbesondere k = n), dann
ist die Affinität eindeutig bestimmt.
Beweis. Klar?
Jede Affinität
• bildet Geraden auf Geraden ab,
• bildet parallele Geraden auf parallele Geraden ab,
• erhält Strecken-/Teilungsverhältnisse entlang von Geraden,
• erhält Volumenverhältnisse.
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