Geometrie

Beispiel 8.3 (1-dimensionaler hyperbolischer Raum). Für n = 1 erhalten wir H 1 ⊂ R 1,1 als
Hyperbelast.
x 2 H 1
(sinh s, cosh s)
x 1
Dieser kann durch
γ(s) :=
( ) sinh s
cosh s
parametrisiert werden — und dies ist die Parametrisierung mit “Geschwindigkeit 1”, also nach
Bogenlänge:
( ) cosh s
γ ′ (s) =
mit 〈γ ′ (s), γ ′ s〉 = 1.
sinh s
Damit berechnen wir Abstände als
length(γ(s)| [s1 ,s 2 ]) = |
∫ s2
s 1
√
〈γ′ (s), γ ′ s〉| = |s 2 − s 1 |.
Wir berechnen das Skalarprodukt von zwei Punkten x = γ(s 1 ) und y = γ(s 2 ) auf H 1 als
〈x, y〉 = 〈γ(s 1 ), γ(s 2 )〉 = sinh s 1 sinh s 2 − cosh s 1 cosh s 2 = − cosh(s 2 − s 1 ).
Damit ist die Metrik in der 1-dimensionalen hyperbolischen Geometrie gegeben durch
− cosh d(x, y) = 〈x, y〉.
Lemma 8.4 (Hyperbolische Drehmatrizen).
( )
( )
cosh s sinh s
− cosh s sinh s
O + (1, 1) = {
: s ∈ R} ∪ {
: s ∈ R}.
sinh s cosh s
− sinh s cosh s
Die erste der beiden Teilmengen von Matrizen ist die Untergruppe der Matrizen der Determinante
+1, also SO + (1, 1).
Die hyperbolischen Drehmatrizen sind genau die Matrizen, die H 1 auf sich selbst abbilden.
Wir definieren Metrik auf hyperbolischem Raum mit Hilfe der Metrik von R n+1 .
Das definiert eine Metrik, weil die Tangentialvektoren raumartig sind! Dafür verwenden wir,
dass jeder Tangentialvektor γ ′ (0) an H n auf dem Vektor γ(0) senkrecht steht, 〈γ ′ (0), γ(0), und
dass daraus folgt, dass γ ′ (0) raumartig ist. (Das kann man geometrisch argumentieren, weil
spann{γ ′ (0), γ(0)} zweidimensional ist, also die Hyperebene x n+1 = 0 schneidet.)
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