Geometrie

Lemma 8.8 (Winkel). Seien l 1 , l 2 zwei sich schneidende Geraden in der hyperbolischen Ebene
H 2 , und seien h i := {y ∈ H 1 : 〈y, n i 〉 ≥ 0} die Halbebenen, die durch l 1 , l 2 gegeben sind, mit
Einheitsnormalenvektoren n 1 , n 2 .
Dann gibt es eine eindeutige hyperbolische Rotation (in H 2 ), gegeben durch eine Matrix/
Transformation T ∈ O(2, 1), um den Schnittpunkt {x} = l 1 ∩ l 2 , die h 1 in h 2 überführt und x
fest lässt.
Der Drehwinkel ist gegeben durch
cos α = 〈n 1 , n 2 〉;
das ist auch der Außenwinkel des Kegels h 1 ∩ h 2 mit Spitze x in der hyperbolischen Ebene.
Beweis. Nach Konstruktion steht x senkrecht auf n 1 und n 2 . Verwendet wird die Drehung um
die von x aufgespannte Achse, die n 1 in n 2 überführt. Dabei ist der Winkel zwischen n 1 und n 2
genau der Winkel zwischen den 2-dimensionalen Unterräumen des R 2,1 , die l 1 und l 2 enthalten,
und das ist nach Definition der Winkel zwischen l 1 und l 2 .
Beispiel 8.9 (Hyperbolische Dreiecke). Seien A, B, C ∈ H 2 nicht kollinear (also als Vektoren
im R 2,1 linear unabhängig). Dann bestimmen sie drei unterschiedliche Geraden, die ein hyperbolisches
Dreieck △ABC ⊂ H 2 begrenzen.
Seien A ′ , B ′ , C ′ ⊂ R 2,1 die zugehörigen normierten raumartigen Normalenvektoren, die also
nicht in R 2,1 liegen, mit 〈A, A ′ 〉 > 0, usw. Seien h A ′, h B ′, h C ′ die zugehörigen Halbräume, mit
h A ′ = {y ∈ H 2 : 〈y, A ′ 〉 ≥ 0, usw. Dann kann gilt
△ABC = h A ′ ∩ h B ′ ∩ h C ′.
Die Kantenlängen im Dreieck sind gegeben durch
− cosh a = 〈B, C〉
und die Winkel durch
− cos α = 〈B ′ , C ′ 〉
(Achtung: hier steht ein echter Kosinus, kein cosh!)
usw.
usw.
Theorem 8.10 (Kosinussatz). Im hyperbolischen Dreieck mit Kantenlängen a, b, c und Außenwinkeln
̂α, ̂β, ̂γ gilt der Seitenkosinussatz
und der Winkelkosinussatz
cos α =
cosh a =
− cosh a + cosh b cosh c
sinh b sinh c
cos α + cosh β cosh γ
.
sin β sin γ
und entsprechend für cos β und cos γ bzw. cosh b und cosh c bei gleichzeitiger Permutation von
a → b → c und ̂α → ̂β → ̂γ.
Beweis. Analog zum sphärischen Fall, Theorem 6.10!
60