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1.1 Tunneleffekt
Schließlich bekommt man als Ergebnis:
∣ c
P T =
1 ∣∣∣ 2
1
∣ = ( )
a 1 k 2 +κ 2 2
sinh2 (κS) + 1
Wenn man k und κ in (1.16) einsetzt, so ist die Wahrscheinlichkeit P T
Transmission:
P T (E) =
2kκ
Für den Fall 1 κS ≫ 1 gilt näherungsweise:
1
1 + ( )
Φ 2
sinh2 (κS)
E(Φ−E)
(
P T (E) ∝ A · exp − 2¯h
√
)
2m(Φ − E)S
(1.16)
für eine
(1.17)
(1.18)
1.1.1 WKB-Näherung 1D
Da die realen Potentiale in der Regel keine „Kastenform“ haben, sondern vielmehr
Φ = Φ(x), kann in der Regel auch keine exakte Lösung der Schrödinger Gleichung
angegeben werden. Die WKB-Näherung (Wentzel-Kramers-Brillouin-Näherung)
liefert eine näherungsweise Lösung der eindimensionalen, stationären Schrödingergleichung
(1.1) bei einer beliebigen Form des Potentials. Diese Näherung wurde
fast gleichzeitig und unabhängig voneinander von den Physikern Gregor Wentzel
[Wentzel (1926)], Hendrik Anthony Kramers [Kramers (1926)] und Leon Brillouin
[Brillouin (1926)] publiziert.
Die Lösung der Schrödingergleichung (1.1) und damit der Wellengleichung lautet
in dieser Näherung:
ψ(x) =
(
) 1/4 (
const
exp ± ī ∫
2m[E − Φ(x)]
h
√
)
dx 2m(E − Φ(x))
(1.19)
Obwohl Φ(x) eine beliebige Gestalt haben kann, soll hier das Rechteckpotential
aus Abbildung 1.1 als einfaches Beispiel dienen. Da in diesem Fall das Potential
Φ(x) = Φ konstant ist, ergibt sich für die Tunnelwahrscheinlichkeit das typische
exponentielle Abklingverhalten (1.18).
Die beiden Vorzeichen „±“ stehen für zwei unabhängige Lösungen. Die Lösung
mit positivem Vorzeichen kommt nicht in Frage, da bei sehr langen Potentialwäl-
1 Typische Werte für Tunnelexperimente: Austrittsarbeit Φ − E = 3eV , Tunnelsabstand S = 5Å.
Daraus ergibt sich κS = 1¯h√ 2m(Φ − E)S ≈ 4, 25. Damit ist die Bedingung für die Näherung
hinreichend erfüllt.
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