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1 Theoretische Grundlagen
len die Tunnelwahrscheinlichkeit verschwinden muss. Im Falle einer nach rechts einlaufenden
Welle, die auf eine Potentialbarriere trifft, schreibt man die Lösung der
eindimensionalen, stationären Schrödingergleichung, und die damit ausgerechnete
Transmissionswahrscheinklichkeit T P ≈ |ψ| 2 als:
T P = A · exp
(
− 2¯h
∫ S
0
√
)
dx 2m[Φ(x) − E]
(1.20)
Die WKB-Näherung ist nur dann realitätsnah, wenn sich das Potential über eine
Wellenlänge langsam ändert.
1.1.2 Tersoff Hamann-Näherung 3D
Zum tatsächlichen Verständnis des Tunnelvorgangs ist eine dreidimensionale Betrachtung
notwendig. Deshalb soll hier die Näherung von J. Tersoff und D. R. Hamann
[Tersoff und Hamann (1983)] diskutiert werden.
Wird zwischen Spitze und Probe die Tunnelspannung V angelegt, so verschieben
sich die Ferminiveaus der Fermiverteilung (1.21) von Spitze und Probe relativ zueinander
(s. Abbildung 1.2(a)).
f(E) =
1
1 + e (E−E F )/k B T
(1.21)
Liegt an der Probe eine positive Spannung, so kommt es zu einem gerichteten
Tunnelstrom, wobei die Elektronen aus besetzten Zuständen der Spitze in die unbesetzten
Zustände der Probe tunneln. Liegt an der Probe eine negative Spannung an,
so ergibt sich ein umgekehrtes Verhalten. Es werden nach dem Bardeen-Formalismus
([Bardeen u. a. (1957)], [Bardeen (1961)]) die Fermieverteilungen von Spitze und Probe
mit dem Tunnelstrom und dem allgemeinen Übergansmatrixelement (1.23) der
Wellenfunktion folgendermaßen verknüpft:
I = 2πe
¯h
∑
f(E µ )[1 − f(E ν + eV )]|M µν | 2 δ(E µ − E ν ) (1.22)
µν
mit dem Matrixelement für den Übergang von ψ µ nach ψ ν (µ → Spitze, ν → Probe):
M µν = − ¯h2 ∫
2m
d ⃗ S · (ψ ∗ µ∇ψ ν − ψ ν ∇ψ ∗ µ) (1.23)
Die Integralfläche S ist hier beliebig zu wählen, allerdings muss diese im Bereich
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