2-up - ETH Zürich

Effizienz des Multiplikationsalgorithmus
• Frage: Wie lange dauert eine Multiplikation von a und b?
static int f(int a, int b){
if (b == 1) return a;
if (b%2 == 0) return f(a+a, b/2);
else return a + f(a+a, b/2);
}
• Effizienzmass: Gesamtzahl der elementaren Operationen
• Verdoppeln, Halbieren, Test auf „gerade“ bzw. „1“, Addition
• Kommen offenbar pro Aufruf insgesamt nicht mehr als 5 Mal vor
• Aber: Handelt es sich bei „b%2 == 0“ nicht um zwei Operationen statt einer einzigen?
• Antwort: So wie der Test auf „gerade“ hier realisiert ist, werden für „b%2 == 0“
tatsächlich mehr Maschineninstruktionen ausgeführt, als z.B. für „b == 1“ – wir wollen
aber von der konkreten Realisierung abstrahieren; auf Maschineninstruktionsebene lässt
sich ein Test auf „gerade“ jedenfalls einfach und effizient realisieren, indem man testet,
ob das rechteste Bit der Speicherzelle von b eine 0 oder eine 1 ist.
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Effizienzabschätzung
• Genauere Überlegungen müssten die unterschiedlichen
„Kosten“ der verschiedenen Operationen berücksichtigen
• Verdoppeln ist „billiger“ als Addieren etc.
Kosten ≈ Zeit
• Grosse Zahlen sind „teurer“ als kleine Zahlen
• Wir setzen aber (vereinfachend) alle Operationen als gleich „teuer“ an
• Wesentliches Kriterium: Anzahl der (rekursiven) Aufrufe
• Dies ist nur von b abhängig, nicht von a
if (b == 1) return a;
if (b%2 == 0) return f(a+a, b/2);
else return a + f(a+a, b/2);
• Also: wie viele rekursive Aufrufe gibt es?
• Wie oft kann man b halbieren, bis ein Wert 1 herauskommt?
(durch das Abrunden beim Halbieren ist dies konservativ geschätzt)
• b / (2 x ) ≤ 1 ⇒ x ≥ log 2 b (Logarithmen in der Informatik i.Allg. zur Basis 2)
• Es werden also nicht mehr als 5 log 2 b Operationen benötigt
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