Kapitel 6 Supraleitung

362 Kapitel 6 Supraleitung
Eichinvarianzder GL-Gleichungen
Das Vektorpotential ⃗ A ist durch das Magnetfeld ⃗ B =rot ⃗ A nicht eindeutig festgelegt.
Mit ⃗ A = ⃗ A ′ + ∇φ (φ sei eine beliebige eindeutige, skalare Funktion) gilt
⃗B =rot ⃗ A =rot( ⃗ A ′ + ∇φ) =rot ⃗ A ′ +rot∇φ
} {{ }
=0
Frage:
hängen die Lösungen der GL-Gleichungen von der Wahl von ⃗ A ab ?
⇔ sind die GL-Gleichungen eichinvariant ?
Es lässt sich zeigen, dass dies der Fall ist für die folgende Transformation:
⃗A = A ⃗′ + ∇φ
[
ψ = ψ ′ exp i 2π ]
φ(⃗r)
Φ 0
(6.51)
wichtige Konsequenz:
es lässt sich (für einfach zusammenhängende Körper) immer eine Eichung finden in der
ψ reell wird.
Charakteristische Längen
Wir suchen nun nach der physikalischen Bedeutung der im Zuge der Normierung der
GL-Gleichungen eingeführten Größen ξ und λ.
• ξ =( 2 /2m s |α|) 1/2
einfaches Beispiel: Normal-Supraleiter-Grenzfläche (x = 0; SL im Bereich x>0)
Die Dichte der SL-Ladungsträger – und damit |ψ| – muss an der Grenzfläche zum
NL hin absinken (im Inneren des SL gilt |ψ| =1).
Frage: über welche Länge sinkt |ψ| ab ?
- 1-dim. Problem: ψ(⃗r) → ψ(x)
- 1-fach zusammenhängender SL → ψ reell
mit der Eichung A ⃗ = 0 folgt aus der (normierten) 1. GL-Gleichung (6.48)
0 = −ψ + |ψ| 2 ψ + ξ 2 (i ⃗ ∇) 2 ψ
= −ψ + ψ 3 − ξ 2 d2 ψ
dx 2 (6.52)