Grundprinzipien der Quantenphysik

J. Oswald, Grundprinzipien der Quantenphysik
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Dieses Integral ist aber bereits aus der Mathematik als die Fouriertransformation bekannt.
Wir können also unser Problem so formulieren, dass wir eine Funktion a(k) suchen, deren
Fouriertransformierte die rechts stehende Gaußfunktion ist. Nun nimmt gerade die
Gaußfunktion in der Fouriertransformation eine besondere Stellung ein, nämlich insofern,
als dass die Fouriertransformierte einer Gaußfunktion wieder eine Gaußfunktion ist (für
weitere Details möchte ich auf die Mathematik verweisen). Dies bedeutet, dass wir für a(k)
ebenfalls eine Gaußfunktion ansetzen müssen. Um nun in der Folge ψ ( x)
zu berechnen,
müssen wir mit dem Gaußansatz für a(k) das entsprechende Fourierintegral durchführen
(d.h. wir schauen in einer Formelsammlung nach ...).
Wie bereits vorige Woche erklärt, hängen die k-Verteilung a(k) und die aus der
Überlagerung dieser k-Anteile entstehende Ortsverteilung (=Wellenfunktion) ψ ( x)
durch
eine Fouriertransformation zusammen. Diesbezüglich ist bekannt, dass speziell für die
Gaußfunktion als k-Verteilung a(k) als Fouriertransformierte wieder eine Gaußfunktion als
Ortsverteilung (und natürlich umgekehrt) herauskommt. Starten wir also mit einer
Gaußverteilung der k-Werte a(k) wie folgt:
k
Eqn. 2.7-35: ak ( ) = A⋅exp
⎛ ⎜−
⎝ q
2
2
⎞
⎟
⎠
wobei nun q die Breite der k-Verteilung darstellt. Das zu lösende Fourierintegral hat damit
folgende Form:
∞
2
k
Eqn. 2.7-36: ψ ( x) = ∫ A⋅exp( −
2
) ⋅exp( −i⋅k⋅x)
q
−∞
In diversen Formelsammlungen kann (in etwa) folgendes finden:
∞
2
2 2
x
Eqn. 2.7-37: ∫ exp( −a ⋅k ) ⋅exp( −i⋅k⋅x) ∝exp( −
2 )
4a
−∞
Womit man durch Koeffizientenvergleich sofort folgendes hinschreiben kann:
Eqn. 2.7-38:
∞
2
k
A ⋅ − ⋅ − i ⋅ k ⋅ x = C
q 2
∫ exp( ) exp( ) ⋅ exp( − x 2
2
)
q
4
−∞
Ausschließlich zur Benützung in Verbindung mit der gleichnamigen Vorlesung !