Grundprinzipien der Quantenphysik

J. Oswald, Grundprinzipien der Quantenphysik
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Eqn. 2-64 ψ ψ
2
I
1 ⎡ −
h
() t = ⎢e −e
2 ⎣
II
i E t −i E t
h
⎤
⎥
⎦
Wie gefordert, ergibt sich für t=0: ψ 1
ψ( t = 0)
= 1 und ψ2 ψ( t = 0)
= 0
Wir wollen nun in der Folge diesen Schwebungsterm etwas näher untersuchen. Schlüsseln
wir dazu die e-Funktion in sin- und cos Terme auf:
−i E t E E
e = ⎛ ⎞
⎜−
t ⎟ + i ⋅
⎛ ⎞
h
cos ⎜−
t ⎟
⎝ h ⎠
sin ⎝ h ⎠
, d.h. wir können Eqn. 2-63 wie folgt
umschreiben:
1 ⎧⎡
E
I
E
ψ 1
ψ() t cos t
II
E E
cos t i
I
sin t
II
= ⎛ ⎞
⎜−
⎟ +
⎛ ⎞ ⎤ ⎡
⎜−
⎟
sin t
2
⎢
⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ + ⋅
⎛ ⎞
⎜−
⎟ +
⎛ ⎞⎤⎫
⎨
⎢
⎜−
⎟
⎦ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥⎬
⎩ h h h h ⎦⎭
unter Ausnützung der Additionstheoreme für sin und cos kann man weiter umformen:
Eqn. 2-65 ψ 1
ψ()
t =
1 ⎧
2 2 ⎛ EI − EII ⎞ ⎛ E + ⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ + ⎞ ⎫
⎨ ⋅cos⎜
− t
I
EII E
⎟ ⋅cos⎜
− t ⎟ + i
I
EII E
⋅2
⋅cos⎜
− t
I
EII
⎟ ⋅sin⎜−
t ⎟ ⎬
⎩ ⎝ 2h ⎠ ⎝ 2h ⎠ ⎝ 2h ⎠ ⎝ 2h
⎠ ⎭ =
⎛ EI − EII ⎞ ⎧ ⎛ E + ⎞ ⎛ + ⎞ ⎫
cos⎜
− t
I
EII E
⎟ ⋅⎨cos⎜
− t ⎟ + i
I
EII
⋅sin⎜−
t ⎟ ⎬
⎝ 2h ⎠ ⎩ ⎝ 2h ⎠ ⎝ 2h
⎠ ⎭ =
⎛ EI
− EII
⎞
cos⎜
− t ⎟ ⋅
⎝ 2h
⎠
+
−⋅ ⋅
e i E I E II
t
2h
Interessieren wir uns nun für die zeitliche Entwicklung der Antreffwahrscheinlichkeit w 1 (t)
in Topf 1 , so müssen wir ψ ψ() t ψ()
t ψ bilden:
1 1
Eqn. 2-66 w () t = ψ ψ() t ψ()
t ψ =
1 1 1
Ausschließlich zur Benützung in Verbindung mit der gleichnamigen Vorlesung !