Grundprinzipien der Quantenphysik

J. Oswald, Grundprinzipien der Quantenphysik
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s
Eqn. 2.7-24 a ( k) = ψ ψ ( k)
=
n
n
( − )
1 n ⋅exp
− ⋅ ⋅
N
n
( i k x )
wobei wir noch den Vorfaktor ( − 1)
n
der Einfachheit halber durch an k
N ( = 0 ) , oder kurz
a n
( 0)
repräsentieren können. Wir erhalten somit:
Eqn. 2.7-25 a ( k) = a ( 0) ⋅exp( −i⋅k⋅x
)
n n n
Da entsprechend unserer Ortsdarstellung mit dem Index n ein bestimmter Aufenthaltsort
des Elektrons verbunden ist (Sie erinnern sich: x n⋅∆ x), kann man gleich dazu
n =
übergehen, die Basiszustände ψ n
direkt mit dem zugehörigen Ort x n zu bezeichnen:
Eqn. 2.7-26 x n
≡ψ n
Durch diese Schreibweise ist auch für Jedermann auf den ersten Blick erkennbar, dass man
es mit der Ortsdarstellung zu tun hat, d.h. dass man Basiszustände verwendet, die dem
Elektron einen bestimmten Ort (Topf) zuweisen. Dadurch wird aus Eqn. 2.7-24
x
n
s
s
ψ ( k) = x ψ ( k = 0) ⋅exp( −i⋅k⋅x
)
n
n
Was wir nun vor uns haben, ist offensichtlich eine skalare (weil geschlossene Klammer)
Funktion des Ortes, so dass man mit der Vereinfachung sogar noch einen Schritt
weitergehen kann und die geschlossenen Klammer gleich als Funktion schreibt:
s
Eqn. 2.7-27 x ψ ( k) ≡ ψ( x , k)
n
n
Es ist zwar so, dass auf unser spezielles Problem angepasst, nur bestimmte, d.h. diskrete x-
Werte gemeint sind. Die mathematische Funktion aber, die die Verknüpfung mit diesen x-
Werten herstellt, ist vom mathematischen Standpunkt aus eigentlich schon eine stetige
Funktion, in die man halt im konkreten Fall nur bestimmte Werte einsetzt. Charakterisiert
man die Funktion selbst, so hat der Index n bei x eigentlich keinen Sinn - man schreibt also
allgemein für einen beliebigen abstrakten Zustand ψ in der Ortsdarstellung
ψ
( x)
≡
x
ψ
Ausschließlich zur Benützung in Verbindung mit der gleichnamigen Vorlesung !