Grundprinzipien der Quantenphysik

J. Oswald, Grundprinzipien der Quantenphysik
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c hat die Dimension einer Energie. Gibt man c in meV an, bezieht man die effektive Masse
auf die Masse des wirklich freien Elektrons m 0 und misst man den Punktabstand ∆x in nm,
so ist c wie folgt gegeben:
⎛ meff
⎞
2
c =−3814
. ⋅⎜
⋅∆x
⎟
⎝ m ⎠
0
−1
[ ]
meV
Dieses c könnten wir nun in die Matrix einsetzen und die Eigenwerte und Eigenzustände
durch ein numerisches Verfahren auch rechnen lassen (dazu später noch mehr !) Wir
wollen vorerst aber den hier eingeschlagenen analytischen Lösungsweg noch etwas
weiterverfolgen. Eqn. 2.8-6 erlaubt es uns nun, das c im Term mit der 2. Ableitung durch
m eff zu ersetzen:
c d 2
x
2 2
ψ( )
2
h d ψ( x)
⋅
2
⋅ ( ∆x
) ⇒ −
2
dx
2m
dx
eff
Mit diesen Änderungen können wir Eqn. 2.8-5 neu schreiben und erhalten dadurch die
stationäre Schrödingergleichung
Eqn. 2.8-7:
2 2
h d
−
2
ψ( x) + [ e⋅V ( x) − Em]
ψ( x) = 0 bzw.
2m
dx
eff
⎡ h
⎢−
⎣⎢
2m
d
dx
2 2
eff
2
⎤
+ eV ⋅ ( x) ⎥ψ( x) = Em
⋅ψ( x)
⎦⎥
In dieser Form ist die stationäre Schrödingergleichung wohl den meisten Leuten bekannt
und entspricht auch der ursprünglichen Form des Urhebers Erwin Schrödinger.
Im Rahmen unseres übergeordneten Konzeptes der Quantenphysik können wir die Rolle
dieser Gleichung wie folgt zusammenfassen:
Die Schrödingergleichung als Differentialgleichung für die Wellenfunktionen ist eine
spezielle Methode, die Eigenwertgleichung des Hamiltonoperators in der Ortsdarstellung
zu lösen. Diese Eigenwertgleichung besteht im Allgemeinen aus einem linearen
Gleichungssystem, dessen Dimension im Prinzip unbeschränkt ist.
Ausschließlich zur Benützung in Verbindung mit der gleichnamigen Vorlesung !