Grundprinzipien der Quantenphysik

J. Oswald, Grundprinzipien der Quantenphysik
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für die weitere Praxis zur wichtigen Erkenntnis, dass es zu Abschätzung der Breite eines
Energiebandes in einem Kristall ausreicht, nur den Effekt der Kopplung benachbarter
Atome zu berechnen, was eine wichtige Reduktion des Aufwandes bedeutet.
2.7.1.2 Verhalten in der Nähe des Energiebandminimums:
In unserem Modell steckt aber noch viel mehr. Um dass zu zeigen, betrachten wir in der
Folge die Situation in der Nähe des „Bandminimums“. D.h. wir machen einen
Variablentransformation derart, dass wir k m ersetzen durch (k 0 +k), wobei k dann von der
Position des Minimum aus gezählt werden soll. Wir lassen in der Folge auch gleich den
Index m weg, da wir ja k selbst für die Bezeichnung des damit verbundenen stationären
Zustandes verwenden können (es geht ja nur um die Zuordnung eines bestimmten E-
Wertes zu einem bestimmten k - Wert !). Um die Existenz der Zuordnung zwischen k und
E zu verdeutlichen, schreiben wir k allerdings nicht als Index für E sondern gleich als
Funktionsargument E(k). Die Funktion von Eqn. 2.7-15 kann man somit auch so schreiben,
wobei nun das Minimum durch k=0 gegeben sein soll:
[ ]
Eqn. 2.7-16 ( ) cos( )
Ek = E+ 2c⋅ k+ k⋅∆x
0 0
wobei Ek ( = 0)
= E0 −2c
gelten soll.
Daraus kann man schließen dass man k ⋅ ∆ 0
x = π , bzw. k = π 0
∆x
setzen muss. Es ist leicht
nachzuvollziehen, dass wir mit dieser Umformung aus Eqn. 2.7-16 das Folgende erhalten:
Eqn. 2.7-17 Ek ( ) = E− c⋅cos( k⋅
x)
0
2 ∆
Dabei ist nun k vom Minimum des Energiebandes aus zu zählen. Beschränken wir uns nun
auf die Umgebung des Minimums, d.h. auf ausreichend kleine Werte für k , so dass
k⋅ ∆x