Grundprinzipien der Quantenphysik

J. Oswald, Grundprinzipien der Quantenphysik
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Dementsprechend repräsentieren die geschlossenen Klammerausdrücke (= Projektions-
Amplituden) die Darstellungskoeffizienten (a I und a II ) für die Überlagerung der
Basiszustände l1 und l2 zum betreffenden Zustand P .
Eqn. 2-26
l1
P = a
l2
P = a
I
II
In Anlehnung an die klassische Vektorschreibweise kann man die Koeffizienten auch als
Spaltenvektor schreiben
⎛
Eqn. 2-27 P = l1 l1 P+l2 l2 P ≡ l 1
⎜
P
⎝ l2
P
⎞ a
⎟ = ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ a
I
II
⎞
⎟
⎠
die Position innerhalb der Spalte markiert dabei zu welchem Basiszustand die
entsprechende Zahl (=Darstellungskoeffizient) gehört.
8) Vollständigkeit der Basis: Neben der Orthogonalität, welche schon unter Pkt. 5
angesprochen wurde, gibt es ein weiteres Kriterium, welchem die Basiszustände
gehorchen müssen, nämlich der sog. Vollständigkeit. Machen wir vorerst folgende
Rechnung, wobei P I
und P II
ganz allgemein die Basiszustände sein sollen und a I
und a II sind die zugehörigen Darstellungskoeffizienten:
[ I I II II ]
PP= P P P + P P P = 1
⇒ PPI PI P+ PPII PII P = 1
2 2
⇒ ∗ ∗
aa + a a = a + a = 1
I I II II I II
Da wir zwischen PP nur den Einheitsoperator (Analysatorkreis) einschieben, muss der
ganze Ausdruck „1“ bleiben, was dazu führt, dass die Summe aller Betragsquadrate aller
Darstellungskoeffizienten eines Zustandes in einer beliebigen Basis „1“ sein muss.
Mathematisch etwas allgemeiner ausgedrückt heißt das:
Eqn. 2-28
∗
∑ a k
ak
= 1
k
Ausschließlich zur Benützung in Verbindung mit der gleichnamigen Vorlesung !